108 



Vselger.man blandt de omtalte Transformationer af R dem, der 

 ere Punkt-Transformationer, saa faaes den almindeligste Punkl-Trans- 

 formation af R, ved hvilken Krumningslinier ere covariante Currer, et 

 Problem, som Liouville ferst har ]0st. At herunder Ligedannethed 

 i de mindste Dele bibeholdes, folger af, at infinitesimale Kugler 

 overferes i infinitesimale Kugler. 



Parallel-Transformation vides at overfere Krumningslinier i 

 Krumningslinier, og det er i Virkeligheden let at verificere, at den 

 tilsvarende Transformation af r er en lineaer Punkt-Transforination. 



Ligningerne: 



X,=X 2 ; Y,=Y 2 ; Z,=Z 2 ; H x = H 2 + A 

 overferes nemlig (sammenlign vore Betragtninger over Transla- 

 tions-Bevsegelse n. 3i) i Relationer af Formen : 



Zi = z 2 ; x x =x 2 -}- az 2 -f b; y t = y 2 -f- cz a -f- d. 



34. Hr. Bonnet har flere Gange betragtet en Transformation, 

 som han definerer ved Ligningerne : 



Z. 2 = iZ. 2 yi+ p *~+ q * a ; Xl = x 2 + p 2 z 2 ; y, = y 2 -r-q 2 z 2 , 

 hvorved de to Indexer referere sig til den givne og den trans- 

 formerte Flade. 



Hr. Bonnet paaviser, at denne Transformation er en reciprok - 

 i den Forstand, at den to Gange anvendt ferer tilbage til den givne 

 Flade, at den transformerer Krumningslinier i Krumningslinier, at 

 endelig felgende Relationer : 



C 1 = iH„ H 1 = -i^ (a) 

 finde Sted, forudsat at H, og H 2 betegne Krumnings-Radier for 

 corresponderende Punkter, at endvidere £ t og £ 2 ere z-Ordinater 

 for de tilsvarende Krumnings-Centra. 



Den Bonnetske Transformation er, som m strax ville paacise, 

 Billedet af en Transformation af r relativt til den lineoere Complex: 

 Z + iH=0. 



Erindres nemlig, at (X = 0) (Y = 0) (Z = 0) (H = 0) parviis Hgg e 

 i Involution, saa findes, at Courdinaterne for to rette Linier, der 

 ere hinandens Pularer relativt til [Z + iH = 0], fyldestgjer Re la * 

 tionerne: 



X^X,; Y 1= =Y a ; Z 1= iH 2 ; H 1 = -iZ 2 . (» 



