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Diese Gleichungen sind, wie zu bemerken ist, nur vom zweiten 

 Grade hinsichtlich p und q. 



Aus dem Inhalte dieses Capitels hebe ich noch hervor, dass 

 die Bestimmung der geodatischen Curven einer Flache gewisser- 

 massen darauf hinauskommt, eine particulate D 12 zu integriren. 

 Demzufolge lasst sich die bisherige Theorie geodatischer Curven 

 fur die neue Theorie der Pliickerschen Complexen verwerthen. 

 § 13. 



Partielle Differential-Gleichungen erster Ordnnng, deren €ha- 

 rakteristiken Hanpttangenten-Curv en auf den lutegralflachen sind. 



35. Wir haben gefunden (§ 3, 9), dass wenn die charakteri- 

 stischen Curven einer partiellen Differential-Gleichung erster Ord- 

 nung von den Geraden eines Linien-Comptexes umhullt werden, 

 so sind die Charakteristiken Haupttangenten-Curven auf den In- 

 tegralflachen. Es ist andererseits leicht zu erkennen, dass einer 

 jeden Linien-Congruenz eine lineare partielle Differential-Gleichung 

 erster Ordnung entspricht, deren zweifach unendlich viele Cha- 

 rakteristiken — die Geraden der Congruenz nehmlich — als Haupt- 

 tangenten-Curven auf den Integralflachen auftreten. Umgekehrt 

 werden wir beweisen, dass es sonst keine weiteren partiellen 

 Difierential-Gleichungen erster Ordnung giebt, welche die bespro- 

 chene Eigenschaft besitzen, als die genannten beiden Arten. 



Schreiben wir eine allgemeine partielle Differential-Gleichung 

 erster Ordnung in der Form : 



F(xyzpq) = 0, 

 so miissen wir F, als Funklion von x, y, z, p, q aufgefasst, in 

 allgemeinster Weise so bestimmen, dass in einem beliebigen Punkte 

 einer Integralflache die Richtung der Charakteristik mit derjeni- 

 gen der Trajectorie zusammenfallt. Die beiden besprochenen Bich- 

 tungen liegen nehmlich hinsichtlich der beiden entsprechenden 

 Hauptlangenten harmonisch, und wenn sic also ziisammenfallen, 

 so werden sie zugleich mit der einen Haupttangente identisch. 

 Nach Monge bestimmen aber: 



d fdv--dx = 0,(^ + p^dx + (-+q J d 5)^= 



