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§ 14. 



Partielle Differential- tileichungeii erster Ordming, deren ( ha- 

 rakteristiken Krummungslinien auf den Integralflachen sind. 



37. Wir wissen, dass unsere Kugel-Abbildung die Elemente 

 einer Flache f in die Elemente einer Flache F iiberfiihrt. Es wird 

 hierbei offenbar ein paarweises Zusammengehoren zwischen alien 

 Curven der beiden Flachen festgestellt, und zwar entsprechen sich 

 insbesondere die Haupttangenten-Curven auf f und die Kriim- 

 mungslinien auf F. Hieraus folgt, dass zwei Flachen f, und f 2 , 

 die einander nach einer Haupttangenten-Curve beriihren, im All- 

 gemeinen in Flachen F, und F 2 iibergehen, die in demselben ge- 

 genseitigen Verhaltnisse langs einer Kriimmungslinie stehen. Die- 

 ser Satz erleidet jedoch eine wichtige Ausnahme, die freilich im 

 Folgenden nicht in Betracht kommt, und urn Alles moglichst klar 

 zu stellen gehe ich hierauf etwas naher ein. 1 



Nach § 5, 14 wissen wir, dass wenn die beiden Raume r 

 und R durch ein Gleichungs-System : 



. F 1 (xyzXYZ) = 0, F 2 (xyzXYZ) = . 

 reciprok auf einander bezogen sind, so bildet ein Flachen-Elemeut 

 des einen Raumes, welches einen elementaren Complex-Kegel 

 herilhrt, sich im anderen Raume als ein ahnliches Element ab. 

 Nun giebt es offenbar im Allgemeinen in jedem Raume vierfaeh 

 unendlich viele Elemente von dieser ausgezeichneten Lage. Wenn 

 aber die elementaren Complex-Kegel des Raumes r ebene Strahl- 

 Biischel sind, so giebt es in r nur dreifach unendlich viele solche 

 Elemente — ich bezeichne sie mit dem Buchstaben e welche 

 de 'i rierfach unendlich vielen, ausgezeichneten Elementen E des 

 Raumes R entsprechen. Einem Elemente e entsprechen alsdann ein- 

 fach unendlich viele Elemente E. 



So ist insbesondere der Fall mit unserer Kugel-Abbildung. 

 Durch jeden Punkt in r geht nur ein ausgezeichnetes Element, 

 d asjenig e nehmlich, welches dem betreffenden Punkte durch den 

 lin earen Complex (H = 0) zugeordnet wird. Andererseits sind die 

 ausgezeichneten Elemente E diejenigen, welche der Gleichuug: 



' We folgende Discnssion hatte richtiger ihren Tlatz im crsten Theile gefandcn. 



