i + P' 2 + Q 2 = o 



geniigen, hier vorausgesetzt, dass P und Q wie friiher die partiel- 

 len Derivirten von Z hinsichtlich X und Y bezeichnen. Wie eine 

 geometrische Betrachtung zeigt, sind es die einfach unendlich vielen 

 Elemente E, die sick an eine Gerade von Ldnge gleich Null anschlies- 

 sen, icelche demselben Elemente e des Raumes r entsprechen. 



38. Nach den obenstehenden Entwickelungen konnen wir den 

 folgenden Satz aussprechen : 



Wenn zwei Fldchen /i und fi einander nach einer Haupttangenten- 

 Curve beriihren, und die Tangenten dieser Curve nicht dem linearen 

 Complexe (11=0) gehdren, so beriihren die Bild fldchen Fx und F* ein- 

 ander nach einer Kriimmungslinie. In dem ausgeschlossenen Falle ge- 

 horen alle Tangenten der Fldchen f x und fa, die durch einen Punkt der 

 gemeinsamen Haupttangenten-Curve gehen, dem Complexe (H = 0), und 

 alsdann kann man nur schliessen, dass die Bildfldchen Fx tmd Fe «'« 

 einer gemeinsamen Developpablen, welche den unendlich entfernten ima- 

 gindren Kreis enthdlt, eingeschrieben sind (§ 25, 69, b). 



Beriicksichtigt man indessen, dass es keine partielle Differen- 

 tial-Gleichung giebt, deren krummlinige Charakteristiken sammilich 

 von Geraden des linearen Complexes (H=0) umbullt werden, so 

 lasst sich schliessen (§ 5, 13), dass unsere Kugel-Abbildung eine 

 jede D,, in eine partielle Differential-Gleichung, deren Charakte- 

 ristiken Kriimmungslinien sind, iiberftihrt. Andererseits erhalten 

 wir in dieser Weise alle Differential-Gleichungen von dieser Eigen- 

 schaft, weil der folgende Satz nach dem Obenstehenden ohne Aus- 

 nahme gilt: 



Zwei Flachen F x und F 2 , die einander nach einer Kriim- 

 mungslinie beriihren, geben in r Bildflachen, die sich nach einer 

 gemeinsamen Haupttangenten-Curve beriihren. 



Es gehen also die im vorangehenden Paragraphen erhaltenen 

 Resultate in die folgenden iiber. 



Es giebt zwei distinkte Classen partieller Differential-Gleichungen 

 erster Ordnung, deren Charakteristiken Kriimmungslinien auf den \nte- 

 gralfldchen sind. Gleichungen der ersten Classe konnen dadurch cha- 

 rakterisirt werden, dass sie als vollstdndiges Integral den Inbegr* 



