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40. Die Eutwickelungen dieses Paragraphen griinden sich auf 

 den bekannten Satz: Wenn zwei Flachen I und U mit ei»ander 

 eine Beriihrung n'r Ordnung nach einer Kriimmungslinie haben, 

 so stehen ihre Centerflachen C, und C u imselben gegenseitigen 

 Verhaltnisse hinsichtlieh einer gemeinsamen geodatischen Curve. 



Betrachtet man nun einerseits die Intergralflachen I einer D 12 

 und unter deuselben die Flachen U eines vollstandigen Integrals, 

 andererseits die zugehorigen Centerflachen Cj und C u , so sieht man 

 leicht (§ 5, 13), dass die Flachen d einer partiellen Differential- 

 Gleichung erster Ordnung D 13 gentlgen, deren. Charakteristiken 

 geodatische Curven sind, und hierbei bilden die Flachen C n ein 

 vollstandiges Integral. 



Allgemeiner konnen wir sagen, dass den Integralflachen einer 

 partiellen Differential-Gleichung n l r Ordnung D n2 , deren Charak- 

 teristiken des einen Systems Kriimmungslinien sind,. Centerflachen 

 entsprechen, welche einer Differential-Gleichung derselben Ord- 

 nung D ll3 geniigen, und zwar sind die Charakteristiken des einen 

 Systems geodatische Curven. 



Nach dem Obenstehenden entspricht jeder D n * eine Differential- 

 Gleichung, deren Charakteristiken geodatische Curven sind; das Umge- 

 kehrte ist dagegen nicht wahr, und demzufolge sind die D n3 nicht die 

 einzigen partiellen Differential- Gleichungen, tcelche die Eigenschaft be- 

 sitzen, dass ihre Charakteristiken geodatische Curven sind. 



M. Wir werden die allgemeine Form der Gleichungen D J3 

 • bestimmen und ferner zeigen, dass jeder D x3 eine Schaar Flachen: 

 F(XYZ) = H = Const. 

 entspricht, welche eine jede Integralfldche nach dqvidistanten Curven 

 schneiden; hierbei sind die zugehorigen Orthogonal-Curven die Cha- 

 rakteristiken der betreffenden Flache. 



Sei denn gegeben im Raume r ein beliebiger Linien-Comple* 

 und in R der entsprechende Kugel-Complex, die sich beide duren 

 eine Gleichung: 



F(XYZH) = 

 darstellen lassen ; hierbei muss man X, Y, Z, H einerseits ale L"" e "' 

 Coordinaten (§ 9, 24) hinsichtlieh vier paarweise in Involution 



