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42. Linien-Complexe, die sich durch eine Gleichung von 

 der Form : 



F (X Y Z) = 



darstellen Iassen, bilden sich als die Kugeln ab, deren Mittelpunkte 

 auf der Flache [F (X Y Z) = 0] liegen. Dieser Kugel-Complex 

 wird nun offenbar durch eine beliebiye Parallel-Transformation, 

 oder was auf dasselbe hinauskommt, durch eine infmitesimale solche 

 in sich selbst iibergefiihrt, und also konnen wir nach § 12, 33 

 den Linien-Complex [F(X YZ) = 0] dadurch charakterisiren, dass 

 er eine infmitesimale Transformation von der Form: 



z, = z 2 ; Xl = x 2 + az 2 -f- b; y, = y 2 + cz 2 + d 

 gestattet. Nun ist es bekannt, dass die Aufgabe, die allgemeine 

 Flache zu finden, deren Kriimmungs-Centra des einen Systems 

 auf einer gegebenen Flache liegen, darauf hinauskommt, diegeo- 

 datischen Curven dieser Flache zu finden. Unsere fruhere The- 

 orien geben also den folgeuden interessanten Satz: 



Die Bestimmung der Haupttangenten- Curven des Linien-Complexes 

 [F(XYZ) = 0] und die Anffindung der geodatischen Curven auf der 

 Flache [F(XYZ)=0] sind dqmvalente Probleme. 



Es ist zu bemerken, dass der Grad des Linien Complexes 

 gleich der Ordnung der Flache ist; wahrend aber die Flache eine 

 beliebige ist, so muss der Complex die besprochene infinitesimale 

 Transformation in sich selbst besitzen. 



Unter den linearen Tangential-Complexen des Kugel-Com- 

 plexes [F(XYZ) = 0] betrachte ich den folgenden : 



^(X_X o)+ ^ ( Y-Y ) + ^(Z-Z ) = 0, 

 .lessen Kugeln eine Tangential-Ebene der Flache [F(XYZ) = 0] 

 orthogonal schneiden (§ 9, 24). Eine beliebige Parallel-Transfor- 

 mation fuhrt sowohl den gegebenen Complex wie den Tangential- 

 Complex in sich selbst ilber, und also sehen wir, dass diese Cotn- 

 plexe einander in einfach uneridlich vielen gemeinsamen Kugeln 

 beruhren. Der Complex [F(XYZ) = 0] lasst sich in Folge des- 

 sen als Envelopp-Gebilde von zweifach uuendlich vielen linearen 

 Complexeu auffassen. Wenden wir uns zu den Linien-Vor^tel- 



