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Tangenten die Integralflache in den Punkten einer Charakteristik 

 (Kriimmungslinie) treffen. Bezeichnet nun P' einen von diesen 

 Punkten, der P unendlieh nahe liegt, so osculirt die Ebene OPP' 

 die besprochene geodatische Curve in O, und steht in Folge des- 

 sen senkrecht auf der Ebene OPT, die zugleich den elementaren 

 Complex-Kegel 



(X-X )* + (Y-Yo) 2 + (Z-Z„)« = [g« (X-Xo) + ^ (Y- Y ) + ^ (Z - Z )] s 

 nach der Geraden O P und die Centerflache im Punkte O beriihrt. 

 Die elementare Linie PP' schneidet also die Kriimmuugs-Richtung 

 S PT orthogonal — P T ist die Trajectorie-Richtung. Den bespro- 

 chenen Kreis, der in Untersuchungen fiber kugel-Complexe eine fun- 

 damental Rolle spielen icird, nenne ich den Trajectorie-Kreis der Kugel 

 (XoY Z H ). 



Eine sinnliche Vorstellung des Problemes, eine gegebene D, 2 

 zu integriren, erhalt man folgenderweise. Eine jede partielle Dif- 

 ferential-Gleichung ersten Grades: 



F(xyzpq) = 

 scheidet aus den fiinffach undendlich vielen Flaehen-Elementen 

 des Raumes vierfach unendlieh viele aus. Die einer D, 2 cntspre- 

 chenden Flachen-Elemente vertheilen sieh insbesondere in dreifach 

 unendlieh viele Schaaren, deren jede von einfach unendlieh vielen 

 Elementen gebildet ist, die auf einer Kugel des gegebenen Com- 

 plexes liegen und sieh an den Trajectorie-Kreis desselben an- 

 schliessen. 



Hier mag die Bemerkung ihren Platz finden, dass man aus 

 d er Gleichung eines Kugel-Complexes [H = F (X Y Z)] folgender- 

 weise die Differential-Gleichung zwischen XYZdXdYdZ finden 

 kann, welche die Trajectorien der zugehorigen D 12 befriedigen. 

 U nter den beiden Gleichungen des Trajectorie-Kreises : 



U = (X — X )2 4- (Y — Y ) 2 + (Z — Z ) 2 — Ho 2 = 

 V == H o + g(X-X o ) + ^(Y-Y„) + d d | o (Z-Z ) = 

 Ul >d den entsprechenden Differential-Gleichungen : 



