202 



rt — s«=F(xyz.pq) (D"„) 



r — ^- p -s+ i±-9*F.s— F.t = 0. (D" M ) 

 pq pq v 



Die vier obenstehenden Gleichungen sind, wie man sieht, 

 Specialfalle der bekannten Differential-Gleichung: 



(rt - s«) + Ar + Bs + Ct + D = 0. (1) 

 Man weiss, dass Gleichungen von dieser Art zuweilen ein oder 

 zwei allgemeine erste Integrale besitzen, und es existirt sogar 

 eine allgemeine Methode urn zu entscheiden, ob dies bei einer ge- 

 gebenen Gleichung der Fall ist. Dagegen hat man sich, so viel 

 ich wtisste, nicht damit beschaftigt. die allgemeinste Form der 

 Gleichungen (1) anzugeben, welche ein erstes Integral beziiglich 

 zwei allgemeine erste Integrate zu geben. Es ist mir gelungen 

 diese Bestimmung fur die Gleichungen D' 21 , D' 22 , D%, D"k 

 durchzufiihren, und ich moehte sogleich hervorheben, dass die Lo- 

 sung dieser Fragen eine sehr einfache Form erhalt, wenn man 

 die Begriffe Linien-Complex, Linien-Congruenz, Kugel-Complex 

 und Kugel-Congruenz anwendet. 



§ 18. 



Partielle Differential- Gleichungen zweiter Ordnung, deren In- 

 tegralflachen nnr eine Schaar Charakteristiken enthalten, und 

 zwar solclie, welche Haupttangenten-Cnrven oder Krummnngsh- 

 nien sind. 



47. Zunachst bestimme ich die allgemeine Form aller parti- 

 ellen Differential-Gleichungen zweiter Ordnung, deren Integral- 

 Aachen nur eine Schaar Charakteristiken enthalten und zwar die 

 Haupttangenten-Curven des einen Systems der betreffenden Flache. 

 Bezeichnet: 



F(xyzpqrst)=0 

 die allgemeine partielle Differential-Gleichung zweiter Ordnung 

 und ferner, wie gewohnlich, R, S, T die partiellen Derivirten von 

 F hinsichtlich r,s und t, so ist bekanntlich : 



R dy* — S dy dx + T dx 2 = 

 die Differential-Gleichung der beiden Charakteristiken. Anderer- 

 seits bestimmt: 



