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r dx 2 + 2s dx dy + t dy 2 = 

 die Richtungeti der beiden Haupttangenten, und also driickt: 



Rr + Ss + Tt = (1) 

 die Forderung aus, dass die beiden Charakteristiken iiberall hiri- 

 sichtlich der entsprechenden Haupttangenten harmonische Lage 

 haben sollen. Es sagt ferner: 



4RT — S 2 = 0, (2) 

 dass die beiden Charakteristiken immer zusammenfallen. Gelten 

 also sowohl (1) als (2), so fallen die beiden Richtungen der Cha- 

 rakteristiken Iiberall mit der einen Haupttangenten zusammen, 

 und das war unsere urspriingliche Forderung. 

 Die Gleichung (1) zeigt, dass F die Form: 



F(xyzpqll) = 

 besilzt, und nennen wir hier der Kiirze wegen beilaiifig ^ und - 

 ? und t, so geht (2) in die folgende iiber : 



* dp dT V dp AX J 



eine Gleichung, die sich nach den allgemeinen Methoden integriren 

 'asst. Man findet so als allgemeine Form der Gleichungen D' 2l 



r + 2Ns + N 2 t = 0, 1 

 «nd hierbei geniigt die Richtung der Charakteristik der Gleichung: 



^ = N(xyzpq). 

 Aus dem Obenstehenden folgt, dass eine jede D' 2l der analytische Aus- 

 dr »ck des folgenden Problems ist: die allgemeine Flache zu finden, derm 

 haupttangenten des einen Systems nach einern gegebenen Gesetz durch 

 d,e I'age des entsprechenden Fldchen-Elements (xyzpq) bestimmt 

 werden. 



48. Es ist bekannt, dass wenn eine DifferentiaLGleichung : 

 ar _|_ bs + ct + d = (1) 

 ei u particulates erstes Integral: 



u = (2) 



Dieselbe besitzt bekanntlich ein allgemeines erstes Integral. 



