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Weise kann man nun unbegrenzt weiter gehen, und wir finden 

 somit, dass eine gewahlte Curve c zur Construktion des betreffenden 

 Linien-Complexes Mnreicht, vorausgesetzt natilrlicherweise, dass 

 diese Construktion moglich ist. Meine Behauptung ist also er- 



Soll eine Gleichung von der Form [r + 2Ns + N 2 t = 0] ein erstes 

 Integral besitzen, welches keine lineare partielle Differential-Gleichung 



so kann dasselbe zwar eine arbitrdre Constant e, dagegen keine ar- 

 bitrcire Funktion enthalten. 



49. Wenn die Curven c krumme Linien sind, so konhen 

 nnr erste Integrale von der eben besprochenen Art auftreten. 

 Sind dagegen alle c gerade Linien, so existirt zuweilen ein allge- 

 meines erstes Integral. Dies ist der Fall, wenn die alien Ebenen 

 zugeordneten Geraden-Schaaren eineu Complex und nicht den In- 

 tagriff von alien Geraden des Raumes bilden. Alsdann ist jede 

 m dem betreffenden Complexe enthaltene Linienflache eine Inte- 

 gralflache, und demzufolge entspricht jeder, diesem Complexe zu- 

 gehorigen Congruenz eine D, , , die ein erstes Integral darstellt 1 . 



Soil die Gleichung [r + 2Ns + A r2 < = 0] ein allgemeines erstes 

 Integral besitzen, so muss die gewdhnliche Differential-Gleichung 

 ^ischen x und y: 



g = N(x, y, px -f- qy + k, p, q) 



■** in der Form: 



y = *x + f(*) 



Wegriren lassen, und ohnedies muss zwischen den vier Linien-Coordi- 

 na <en der Geraden: 



y = Tcx + f(7i:); z = px + qy + k 

 Relation slattfinden. Der hierdurch definirte Linien-Complex be- 

 nach dem Obenstehenden sowohl ein allgemeines erstes Integral, 

 sagt gewohnlich, glaubc ich, dass wenn die Integralflachcn cincr Gleichung: 

 A (rt — s 4 ) + Br + Cs + Dt + E = 

 nQ r eine Schaar Charaktcristikcn enthalten, so oxistirt hochstens ein allgemeines 

 Prstes Integral. Dieses ist nicht correkt. Beispielsweise besit-l die einem Linien. 



Krschicden sind 



