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wie das alfgemeine zweite Integral mit zwei arbifrdren Funktionen. In 

 diesem Fafle existirt nach ($ 3, 9) zugleich ein singuldres erstes In- 

 tegral, die unserem Linien-Complexe zugehorige D u nehmlich. 



Wenn endlich die Differential-Gleichung: 



g = N(x, y, px + qy + k,p, q) 

 eine Zahl particulate Losungen von der Form (y = ax -f- zu ' 

 giebt, und ferner zwei Relationen stattfinden zwischen den Linien- 

 Coordinaten der Geraden : 



y = ax + fi, z = px+qy + k, 

 so besitzt die gegebene D' 21 als particulates Integral die der her- 

 vorgehenden Linien-Congruenz zugehorige D n . 



50. Alles, was wir ilber Gleichungen D' 2 i gefunden haben, 

 iibertragt sich nun unmittelbar auf Differential-Gleiehungen D'n- 

 Wir beschranken uns auf das Folgende : 



Eine jede Differential-Gleichung zweiter Ordnung, deren Integral- 

 flachen nur eine Schaar Charakteristiken enthalten und z-irar solche, 

 welche Krummungslinien sind, Idsst sich als analytischer Ausdruck des 

 folgenden Problems auffassen: die allgemeine Fldche zu finden, deren 

 Haupt-Knimmungs-Radius des einen Systems von der Lage des Fldchen- 

 Elements nach einetn gegebenen Geselze abhdngt. 



Wir schliessen hieraus, dass die Gleichung der Haupl-hrinn- 

 mungs-Radien: 



(rt-s*)R 2 — [(l+p ? )t-2pqs + (l+q*)r'J V 1 + p 8 + q 2 R + +P 2 + 1 S >* ^ °' 



vorausgesetzt, dass man in derselben R als eine beliebig gegebene 

 Funktion von (x y z p q) aaffasst, eben die allgemeine Form euier 

 D' 22 ist. 



Wenn eine D' 22 dreifach unendlich viele Kugeln als particular 

 Integrate besitzt, dann und nur dann existirt ein allgemeines erstes In- 

 tegral. Dasselbe entspricht den in dem besprochenen hug el -Complex 

 enthaltmen Kugel-Congruenzen. Die dem Complexe zugehorige Dn * 

 ein singuldres erstes Integral. 



Endlich moehte ich ausdrucklich aussprechen — fre '^ r 

 in dem Obcnslehenden implicite liegt — , dass jeder Linien- o t 

 Kugel-Complex eine D», oder D' 22 bestimmt, welcbe '"i •^- t 

 meines erstes Integral besitzt. 



