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§ 19. 



Ueber partielle Differential-Gleichungen zweiter Ordnung, 

 deren Integralflachen zwei Schaaren Charakteristiken und zwar 

 eben die Kriimmnngslinien enthalten. 



51. Herr Du Bois-Reymond findet, 1 dass die allgemeinste 

 partielle Differential-Gleichung zweiter Ordnung, deren beide, und 

 zwar distinkte, Schaaren Charakteristiken Krummungslinien auf 

 den Integralflachen sind, die folgende ist : 



Man iiberzengt sich leicht, dass diese Gleichung sich auch folgen- 

 derweise schreiben lasst: 



[pqt-(l+q 2 )s]F+[(l+p^)t- (l+q*)r] f+[(l+ p«)s - pqr] = 0, (2) 

 vorausgesetzt, dass f wie F eine willkiirliche Funktion von 

 (xyzpq) bezeichnet. Wenn man aber in (2) statt f dj setzt, 

 so erhalt man eben die Differential-Gleichung der Krummungsli- 

 nien einer Flache, und also konnen wir sagen : 



Eine jede Z)" 22 lasst sich als analytischer Ausdruck des folgenden 

 Problems auffassen: die allgemeinste Fldche zu finden, deren Krum- 

 nungs-Richfungen nach irgend eirtem gegebenen Gesetz durch die Lage 

 'fe* entsprechenden Fldchen-Elements bestimmt sind. 



Man bemerke wohl, dass eine jede D" M in der eben ange- 

 gebenen Bedeutung jeden Flaehen-Elemente zwei orthogonale Rich- 

 tu ngen zuordnet. Betrachtet man nun alle Elemente einer Flache, 

 So Uldet die continuirliche Aufeinanderfolge der zugeordneten 

 R 'chtungen zwei orthogonale Curven-Schaaren, die ich mit den 

 s ymbolen s und cr bezeichnen werde. Eine Integralflache unserer 

 u "*s lasst sich dadurch charakterisiren, dass die zugeordneten 

 Cu fven s und j eben Krummungslinien der Flache sind. Im Fol- 

 Kendeu icerden die einer beliebigen Kugel zugehorigen Curren s und a 

 " /if> "'ichtige Rolle spielen. 



52. Aus der Form der Differential-Gleichungen D" M (§ 18, 48) 

 %', dass wenn eine solche Gleichung ein parliculdres ersles Integral 



so muss dasselbe eine # 12 sein, und hierbei ist zu erinnern, 

 (as s «s zwei distinkte Classen D I2 giebt. 

 Partielle Differential-Gleichungen, pg. 130. 



