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also stellt die Gruppe (u„ v n ) eine in dem Complexe enthallene 

 Linienflache dar; demzufolge ist auch [u — f (v) = 0] eine lineare 

 D n , deren zugehorige Linien- Congruenz unserem Complexe ge- 

 hort. Die Integralflachen der Differential-Gleiehungen [u— f(v) = 0] 

 sind somit Linienflachen des Complexes. Es ist aber nach § 18, 4 9 

 die partielle Differential- Gleichung zweiter Ordnung, welche diese 

 Flachen befriedigen, eine D' 21 und nicht eine D"«. 



Seien nun die beiden Complexe (u) und (v) verschieden. Es 

 enthalten alsdann im Allgemeinen zwei Congruenzen u p und v q 

 our eine endliche Zahl gemeinsarne Gerade, und also durchziehen 

 die gemeinsamen Elemente der Differential-Gleichungen u p und v q 

 den ganzen Raum. Wir konnen somit sagen, dass die Gruppe 

 («,v,) jedem Punkte ein Flachen-Element zuordnet. Man erhalt 

 zweifach unendlich viele solche Zuordnungen, und wenn man 

 »nter denselben nach einem beliebigen Gesetze einfach unendlich 

 v >ele auswahlt, so wird jedem Punkte einfach unendlich viele Ele- 

 mente zugeordnet, und zwar soil die hierdurch definirte partielle 

 Differential-Gleichung erster Ordnung eine lineare D,, sein. Als 

 R un der Inbegriff dieser D u ein allgemeines erstes Integral bil- 

 de " soli, so muss jede Zuordnung unbegrenzt vielen D n geho- 

 r en konnen, und demzufolge muss dieselbe durch einen linearen 

 Complex vermittelt sein; dieser Linien- Complex ist nehmlich der 

 e 'nzige, der die Eigenschaft besitzt, dass die durch einen Punkt 

 gehenden Geraden einen ebenen Buschel bilden. Den zweifach 

 unendlich vielen Zuordnungen entsprechen somit zweifach unend- 

 lic h viele lineare Complexe, und zur Existenz eines allgemeinen 

 er sten Integrals ist nothwendig, dass jedesmal einfach unendlich 

 vi ele dieser Complexe, die beliebig gewahlt sind, eine Congruenz 

 8 e mein haben, dass ferner diese Congruenz mit der Complex- 

 Schaar variirt. Dieses ist aber absurd. 



Eine D" 21 gestattet menials als allgemeines erstes Integral lineare 

 ftfcrential-Gleichungen D l} . 



Eine D" 22 gestattet niemals als allgemeines erstes Integral Diffe- 

 renti "l-Gleichungen D i2 , welche hiigel-Congrnenzen entsprechen. 



