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53. Setzen wir nun voraus, dass eine gegebene D" 22 als par- 

 ticulares erstes Integral eine D 12 zugiebt, die einem Kugel-Cow- 

 plexe enlspricht, und betrachten wir eine Kugel dieses Complexes. 

 Es ist nach § 16, 42 klar, dass der entsprechende Trajectorie- 

 hrvis .sick (inter den dieser Kugel durch die gegebene Z>" 22 zugeord- 

 neten Curven (s, a) befindet. Existiren einfach unendlich viele In- 

 tegrate dieser Art, -so muss, weil einfach unendlich viele Kugel- 

 Complexe alle Kugel n des Raumes unifassen, das einer beliebigen 

 Kugel zugeordnete Orthogonal-System (s, a) einen, oder einige 

 Kreise enthalten. 



Soil endlich ein allgemeines erstes Integral dieser Art exi- 

 stiren, so waren a priori zwei Falle denkbar. Unter den einer 

 Kugel zugeordneten Curven (s, a) befinden sich entweder nur eine 

 endliche Zahl oder auch unendlich viele Kreise. Ich werde be- 

 weisen,*dass der erste Fall unmoglich ist. 



Setzen wir denselben voraus. Bezeichnet alsdann [H=F(X YZ)] 

 einen Kugel-Complex, dessen zugehorige D 12 ein erstes Integral 

 ist, so liegt der Trajectorie-Kreis einer Kugel dieses Complexes 

 in der Ebene (§ 16, 42): 



- H <^ If - « + ws Y - Yo) + l? 2 - Zo) - 



Andererseits lasst die Gleichung dieser Ebene sich auch fol- 

 genderweise schreiben: 



— H = F»(X — X ) + F,(Y — Y ) + F 3 (Z — Z ), 



und hierbei bezeichnen F u F 2 , F 3 Funktionen von X , Y , Z . f ] o- 

 die nach dem Obenstehenden durch die gegebene D" 22 bestimm* 

 sind. Es gelten also die Gleichungen : 



jj|o = Ft, ~° = F 2 , — = F 3 , 

 die - vorausgesetzt dass sie nicht contradictorisch sind, — e,n 

 Integral mit arbitrarer Constanlen gestatten. 



Wenn eine D" 22 ein allgemeines erstes Integral gestatten soil, so 

 muss das einer beliebigen Kugel zugeordnete Orthogonal-System (s, ^ 

 aus einer Schaar Kreisen und den z-ugehorigen Orthogonal-Curcen be- 



Soll eine zwei allgemeine erste Integrate besitzen. so ntu** 



