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klar, class die Gleiehung (1) alle Flachen bestimmt, deren Kriim- 

 mungslinien des einen Systems auf diesen Cylindern liegen. 



Das einer beliebigen Kugel (§ 19, 51) zugeordnete Orthogonal- 

 System (s, a) wird nun offenbar von den Durchschnitts-Curven 

 mit den Cylindern (9 = Const.) in Verbindung mit den zugehoriged 

 Orthogonal-Curven gebildet. Es soli aber nach § 19, 53 das Sy- 

 stem (s, a) aus zwei Kreis-Schaaren bestehen. Unsere Cylinder 

 miissen also eine jede Kugel und also zugleich eine jede Ebene 

 nach Kreisen schneiden, und demzufolge sind sie selbst Ebenen. 

 Ferner sollen die Kreise der beiden Schaaren s und a jedestnal 

 durch zwei feste Punkte gehen, und also enthalten die Ebenen 

 (9 = Const.) eine gemeinsame Axe. Wir werden somit gefuhrt 

 auf das von Joachimsthal geloste Problem: alle Flachen m finden, 

 deren Krummunysl inien des einen Systems in einem Ebenen- Biischel 

 liegen. 



Joachimsthal hat gezeigt, dass in diesem Falle zwei allgemeine 

 erste Integrale existiren, und wir werden finden, dass dieselben 

 zu der in der letzten Nummer besprochenen Categorie gehtireu. 

 Man ordne jeder Ebene des Biischels (9 = Const.) nach einem 

 beliebigen Gesetze einen Wiokel zu und betrachte alle linearen 

 Kugel-Complexe, deren Kugeln jedesmal eine Ebene 9 unter dem 

 betreffenden Winkel schneiden. Dem Envelopp-Complexe ent- 

 spricht eine Di 2 , die nach 54 ein erstes Integral ist. Man be- 

 trachte andererseits einfach unendlich viele Spharen, deren Mit- 

 telpunkte auf der Axe des Ebenen-Buschels liegen. Es ist geo- 

 metrisch evident, dass die Curven, welche diese Spharen ortho- 

 gonal schneiden, in den Ebenen 9 liegen, und also i?t die lineare 

 D 12 , deren Charakteristiken (54, Schluss) diese Curven sind. em 

 erstes Integral. 



Es ist leicht zu sehen, dass jedes der beiden allgeniemen 

 ersten Integralen in einer gewissen Beziehung zu zweifach unend- 

 lich vielen linearen Complexen steht. Wenn (L, + * L 2 = 0) a,,C 

 Ebenen des Biischels 9 darstellt, so definirt die Gleiehung: 



L, + X L 2 + ^ H = 0, 

 in welcher X und u. Paramenter bezeichnen, die zweifach unend- 



