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und bierbei wird es vortheilhaft sein Linien-Vorstellungen zu an- 

 wenden. Die Gleichungen (L, = 0) und (L. 2 = 0) sind hinsichtlich 

 X, Y, Z, H linear, und somit (§ 9, 24) enthalten die entsprechen- 

 den Linien-Complexe als gemeinsame Gerade die Fundamental- 

 Gerade des Raumes r. Ferner stellt (Const. =0) alle Geraden 

 dar, welche die lelztgenannte Linie schneiden, und wir linden so, 

 dass die gemeinsamen Geraden aller Cornplexe (1) eine zerfallene 

 Flache zweiten Grades, das heisst zwei ebene Bilschel bilden. 



Die hier auftrelenden Gebilde sind also ein Degenerationsfall 

 von den in der vorangehenden Nummer untersuchten. Die beiden 

 conjugirten dreigliedrigen Gruppen werden nun durch zwei Punkte pi, P2 

 und zwei durch dieselben gehende Ebenen E u E 2 bestimmt. Die Corn- 

 plexe der einen Gruppe enthalten sammtlich die beiden Strahlen- 

 Biischel (p t E,) (p a E a ); ebenso enthalten die Cornplexe der zwei- 

 ten Gruppe die Btischel (p! E a ) (p a E t ). 



Die Bonnetsche Differential-Gleichung zweiter Ordnung zur Be- 

 stimmung aller Flachen , deren sammtliche Krummungslinien eben 

 sind, lasst sich als ein Degenerationsfall auffassen von der Joachims- 

 thalschen, welche alle Flachen giebt, deren Krummungslinien des einen 

 Systems in einem gegebenen Ebenen- Bilschel liegen. 1 



58. Als letztes Beispiel betrachte ich die Aufgabe,- alle Fla- 

 ehen zu finden, deren Krummungslinien des einen Systems einer 

 gegebenen Relation von der Form: 



k (x y z dx dy dz) = 

 geniigen. Zur Existenz von zwei allgemeinen ersten Integralen 

 ist es, werde ich beweisen, nothwendig und hinreichend, dass * 

 hinsichtlich der Difterentialen linear ist, dass ferner (tc = 0) mte- 

 grabel ist, dass endlich die Integralflachen dieser totalen Differen- 

 tial-Gleichung eine Kugel-Schaar (St + XS^O) sind. 



Wir setzen die Existenz eines allgemeinen ersten Integrals: 

 u-f(v)=0 



voraus und betrachten fur einen particularen Wahl der Funktion 



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