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fach unendlich vielen Gruppen (u p v q ) nach einem beliebigen Ge- 

 setze einfach unendlich viele, so ordnet diese Gruppen-Schaar 

 jedem Punkte einfach unendlich viele Elemente zu, und zwar wis- 

 sen wir, dass dieselben jedesmal den Complex-Kegel eines Inte- 

 gral-Complexes umhullen. 



Zwei consecutive Gruppen (u p v q ) (u p+A , v q+Aq ) ordnet jedem 

 Punkte eine oder einige Richtungen zu, und dieselben gehoren 

 offenbar unbegrenzt vielen Integral-Complexen an. Es folgt hier- 

 aus, dass der geometrische Ort der besprochenen dreifach unend- 

 lich vielen Richtungen eine Linien-Congruenz sein muss, und es 

 ist nicht schwer zu erkennen, dass wenn (u p v q ) constant bleibt, 

 ( u p+Ap v i+Ai) da g e g en variirt, so erhalten wir, alien Werthen der 

 Grosse entsprechend, einfach unendlich viele Congruenzen, 

 deren Inbegriff einen Complex C bildet. Die Geraden dieses Com- 

 plexes, die durch einen Punkt gehen, liegen nun immer in einer Ebene, 

 derjenigen nehmlich, die durch die Gruppe (u p v q ) dem belreffen- 

 den Punkte zugeordnet wird, und also ist C ein linearer Complex. 

 Wir konnen somit den folgenden Satz aussprechen : 



Wenn eine D'\ x ein allgemeines erstes Integral besitzt, so ent- 

 sprechen demselben zweifach unendlich ride lineare Complexe C und 

 zwar in solcher Weise, dass einfach unendlich riele C immer einen 

 Rnvelopp-Complex geben, dessen zugehorige Dn ein particulars erstes 

 hlegral ««. 



Wir erledigen nun die Frage, ob zweifach unendlich viele 

 lineare Complexe immer eine Differential-Gleichung zweiter Ord- 

 n ung mit einem allgemeinen ersten Integrale bestimmen, und hier- 

 bei wird es vortheilhaft sein, Kugel-Vorstellungen zu anwenden. 

 Einem jedem linearen Kugel-Complexe entsprechen, wissen wir 

 (54), dreifach unendlich viele Flachen-Elemente, die sich an die 

 tatreffende Fundamental - Sphare anschliessen. Betrachten wir 

 also zweifach unendlich viele lineare Kugel-Complexe C, so gehort 

 jedes Element des Raumes nur einem oder einigen C als ausge- 

 zeichnetes Element an. Man ordne nun einem jedem Flachen- 

 Elemente die Durchschnitts-Richtung mit der Fundamental-Sphare 

 de « zugehorigen C zu und betrachte diejenige D" M , welche eben 



