traren Constanten v ausser tier Scbeitel-Coordinaten x, y, z. Man 

 sucht nun den analytischen Ausdruck erstens von der Winkel- 

 Oeffnung: 



W = $ (x y z v), 

 ferner von der Richtung der Kegel-Axen : 



dx dy dz 



X Y Z 



In den Funktionen X, Y, Z, die von x, y, z, v abhangen, setzt man 

 statt v den Werth dieser Grosse, genommen aus der Gleichung 

 [W = $( X yzv)] und bildet den Ausdruck: 

 Xdx4-Ydy+Zdz = 0. 

 Wenn diese Gleichung sich integriren lasst, und zwar in der Form : 



[x - F, (H)]» + [y - F 2 (H)]« + [z - F 3 (H)]» = H* 

 dann und nur dann existirt ein allgemeines erstes Integral. Die letzte 

 Cxleichung enthalt zwei Parameter W und H und stellt also die 

 zweifach unendlich vielen Fundamental-Spharen unserer li nearer 

 Kugel-Complexe C dar. Hieraus findet man leicht die allgemeine 

 Gleichung : 



x(XYZH\[x) = 

 dieser Complexe, und damit ist das allgemeine erste Integral be- 

 stimmt. Endlich giebt die Elimination von X und [X zwischen : 



1 dX 'dpi 

 d as singulare erste Integral. 



Wenn eine /)" M ein allgemeines erstes Integral zugiebt, so lasst 

 s% ch dasselbe trie auch das zugehdrige singulare erste Integral immer 

 angeben. 



60. In der folgendeu Untersuchung, deren Zvveck ist alle 

 d "m mit zwei allgemeinen ersteu lntegralen zu bestimmen, werde 

 ic h mich auf den friiher (55) besprochenen Begriff: Involution 

 zwischen linearen Congruenzen stutzen. Wir miissen dabei erin- 

 n ern, dass wenn zwei Ltnien-Congruenzen in dieser Beziehung 

 ste hen, so bilden die beiden Direktricen-Paar ein raumliches Vier- 

 se it. Es sei andererseits Q die eine gemeinsame Kugel der ent- 

 8 Prechenden linearen Kugel-Congruenzen und ferner p,, p 2 die 



