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Ferner ist klar, dass wenn ein Gebilde zwei unabhangige, in- 

 finitesimale und zugleich permutable Transformationen gestattet, 

 • so ist dieses auch mit der entsprechenden Figur der Fall. In 

 diese Categorie gehort z. B. einerseits der Inbegriff von Kugeln, 

 deren Mittelpunkte auf einer beliebigen Schraubenflache liegen 

 — die betreffenden permutablen Operationen sind Schrauben- 

 Bewegung und Parallel-Transformation 1 — andererseits der ent- 

 sprechende Linien-Complex wie auch die zugehorige Singularita- 

 tenflache, welche also nach Herrn Kleins und tneinen Untersu- 

 chungen entweder durch die Gleichung (x a y b z c = Const.) darge- 

 stellt wird, oder als Degeneration einer solchen Flache sich auffas- 

 sen lasst. Als letztes Beispiel betrachte man endlich alle Kugeln, 

 deren Centra auf einem Rotations-Kegel liegen. Dieser Complex 

 gestattet drei unabhangige infinitesimale Transformationen : 1) eine 

 Semblablitats-Trausformation, deren Centrum die Kegel-Spitze ist, 

 2) eine Rotations-Bewegung utn die Kegel-Axe, 3) eine Parallel- 

 Transformation, und zwar ist die zweite Operation sowohl mit 

 der ersten wie mit der letzten permutabel, wahrend dieses nicbt 

 mit der ersten und letzten der Fall ist. Der Linien-Complex und 

 die zugehorige Singularitatenflache besitzen die entsprechenden 

 Eigenschaften. 



62. Im Raume R ist bei unserer Abbildung der unendlich 

 weit entfernte, imaginftre Kreis und sonst nichts ausgezeichnet — 

 das heisst, fiir eine projectivische Auffassung. Wenn wir also 

 »He Special-Formen des Linien-Complexes [F a (X Y Z) = 0] suchen, 

 so milssen wir zunachtt erinnern, dass die projectivische Punkt- 

 Geometrie nur eine Particularisation der Flache zweiten Grades 

 kennt — den Kegel nehmlich; ferner fragt es sich, wie viele ver- 

 schiedene Lagen diese beiden Flachen hinsichtlich des genannten 

 Kreises haben konnen. Nun ist es eben nach diesen Gesichts- 

 punkten, dass die metrische Geometrie die Flachen zweiten Grades 



Es folgt hicraus, dass man die geoddtischen Curven auf einer jeden Flache, die 

 eine injinitesimale Schrauben-Bewegung gestattet, bestimmen kann. (§ 16, 43). Die 

 Krumnmngslinien und Haupttangcnten-Curven dieser Flachen lassen sich anch 

 nach einer Bemerknng von Herrn Klein und mir finden. 



