Dieses letzte ist aber, wie wir zogleich beweisen werden, 

 durch unsere Kugel-Abbildung eine Consequenz davon, dass die 

 betreffenden Linien-Cotnplexe dieselbe Singularitatenflache haben. 

 Man betrachte nehmlich im Raume R einen Kugel-Complex des 

 confocalen Systems und einen beliebigen Punkt P, andererseits 

 in r den entsprechenden Linien-Complex und P's Bildlinie 1. Die 

 Kugeln unseres Complexes, deren Trajectorie-Kreise durch Pgehen, 

 umhilllen den zugehorigen elementaren Complex-Kegel und bilden 

 sich in r als Gerade g 1 ab, welche 1 schneiden und zugleich in 

 diesern Schnittpunkte einen Complex-Kegelschnitt, ' dessen Ebene 

 die Linie 1 enthalt, berilhren. Wenn zwei consecutive Gerade g 

 sich in einem auf 1 gelegenen Punkte p schneiden — was nurin 

 I*s vier Schnittpunkten p n p 2 , p 3 , p 4 mit der Singularitatenflache 

 eintritt -, so beruhren sich die Bild-Kugeln, deren Durchschnitts- 

 Curve somit zerfallt, und zwar in eine durch P gehende Gerade 



in Betracht kommt. Nun sind die Geraden L,, L 2 , L 3 , U einer- 

 seits das Bild der Punkte p„ p 2 , p 3 , p 4 , andererseits liegensieauf 

 dem elementaren Complex-Kegel, und also enthallen, wie friiher 

 behauptet, die einem Punkte zugehorigen elementaren Complex- 

 Kegel vier gemeinsame Linien, die den imaginaren Kreis schneiden. 



Zicei confocale Linien-Complexe zweiten Grades bestimnim imnier 

 einfach unendlich viele Flachen, deren beide Systeme Haupttangenten 

 beziiglich den beiden Complexen gehdren. Wenn die gemeinsame Sin- 

 gularitatenflache em Tetraeder ist, so sind die eben besprochenen Fla- 

 chen mit denen identisch, welche Herr Klein und ich unter der Be- 

 zeichnung : Flachen W untersucht haben. 2 



1 Die Complexlinien g gehoren der Polar-Congruenz der Geraden 1 hinsichtlicb 

 unseres Complexes. Cfr. Plucker, Neue Geometrie des Raumes, n. 304. 



in einen doppeltzahlenden linearen Complex ubergeht, so wird die zugehdrige Du 



Complexe zugehorigen Cougrucnz zweiter Ordnung und Classe, welche von Dop- 

 peltangenten der betreffenden Kummerschen Flache gebildet wird. Setzen wir 

 nun voraus, dass in dem Satze des Textes der eine Complex ein allgemeinor, 

 der zweite ein linearer ist, so werden also die gemeinsamon Integralflachen I* 



