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Mit Beriieksichtigung dieses Satzes wie der Eutwickelungen 

 in Nummer 43 wiirde es nicht schwer sein zu beweisen, dass die 

 Haupttanoenten-Curven eines Complexes zweiten Grades mit 17 

 Constanten [a X 2 + b Y 2 -j- c Z* 2 -f- d H' 2 = OJ durch Qoadratur eines 

 algebraischen Differentials bestimrnt werden konnen; ich gehe 

 aber nicht darauf naher ein. 



66. Eine Schaar confocaler Kugel-Complexe zweiten Grades 

 ordnet nach dem Obenstehenden jedem Punkte P einfach uneiul- 

 lich viele confocale Kegel zweiten Grades zu, 1 und offenbar fin- 

 den sich unter denselben drei paarweise orthogonale Ebenen, den 

 drei* Complexen, welche die Punkt-Kugel P enthalten, entspre- 

 chend. Man erkennt leicht, dass diese Ebenen in P drei Flachen 

 beruhren, solche nehmlich, die den geometrischen Ort fur Punkt- 

 Kugeln unserer Complexe bilden. Beriieksichtigt man nnn, dass 

 diese Flachen als das Bild einer Schaar Linien-Congruenzen zwei- 

 ter Ordnung und Classe, von vierter Ordnung sind und dabei den 

 unendlich weit entfernten, imaginaren Kreis zweifach enthalten, 

 so kann man den folgenden Satz aussprechen : 



Die Punkt-Kugeln confocaler Kugel-C&mplexe zweiten Grades bil- 

 den einfach unendlich viele Flachen vierter Ordnung, die einem irre- 

 ductiblen Orthogonal-System, und zwar dem Darbonx-Moutardschen 

 gehoren. 



Wahlt man nun, wie sich vom selbst darbietet, dieses Ortho- 

 gonal-System zu Coordinaten-Systeme und zu Punkl-Coordinaten 

 die Parameter der durch einen Punkt gehenden Flachen, 



nienflachen. Unter den Integralfldchen eines Complexes zweiten Grades Jinden sich 

 im Allgemeinen sechs Schaaren Regeljlachen, deren Erzeugende die Singularitaten- 

 Mche sweifach beruhren. Wenn beide Complexe linear sind, so erhalt man den 

 folgenden Satz: Zwei beliebige unter den seehs Congruenzen zweiter Ordnung 

 nnd Classe, die einer Kummerschen Flache gehoren, bestimmen einfach unendlich 

 viele Hyperbololoids, deren Erzeugende bezuglich den beiden Congruenzen ge- 

 horen. Diese Hyperboloids-Schaaren zerfallen iibrigens jedesmal in zwei Gruppen. 

 Wenn die confocalen Kugel-Complexe von Kugeln gebildet werden, deren Mit- 

 telpunkte auf confocalen Flachen zweiten Grades liegen, so eind die im Texte 

 besprochenen confocalen Kegel Tangenten-Kcgel der genanntan Flachen. 

 2 Ohnedies gehOrt die Punkt-Kugel P dem linearen Complexe (H = 0;. 



