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haben die Complexe dieselbe Singularitdtenfldche : sie sind nach Herrn 

 Kleins Ausdrucke confocal. 



§ 24. 



Zusammenhang zwischen der Theorie zweier Flachen yierter 

 Ordnung. 



67. Unsere Kugel-Abbildung fiihrt bekanntlich eine im Raume 

 R gegebene Flache vierter Ordnung F 4 , die den undlich weit ent- 

 fernten imaginaren Kreis zweifach enthalt, in eine Kwnmersche 

 Flache vierter Ordnung f 4 mit 16 Knotenpunkten tiber. Es griindet 

 sich hierauf ein sehr bemerkensicerlher Zusammenhang zwischen der 

 Theorie dieser beiden, zuerst von Hern Kummer untersuchten Flachen. 



Eine jede auf F 4 gelegene Curve n'f r Ordnung schneidet den 

 imaginaren Kreis in » Punkten, und bildet sich also (§ 8, 21) in 

 r als eine Linienflache u l v Ordnung, die f 4 nach einer Curve 2n'f r 

 Ordnung beriihrt, ab. Beispielsweise geben F 4 's 16 Gerade, aus 

 denen jede fiinf andere schneidet, 16 ebene Strahl-Biischel, die 

 f 4 nach Kegelschnitten beriihren, und hierbei hat jeder Bilschel 

 eine Gerade mit fiinf anderen gemein (§ 7, 17). Ferner gehen 

 die auf F 4 gelegenen zehn Kreisschaaren iiber in zehn Hyperboloid- 

 Schaaren, die f 4 nach Curven vierter Ordnung beriihren u. s. w. 



Aus den allgemeinen Entwickelungen in Nummer 20 folgt, 

 dass die auf F 4 gelegenen Curven C, deren Lange gleich Null ist, 

 sich als Curven c auf f 4 abbilden, deren Tangenten diese Flache 

 zweifach beriihren. Nun hat einerseits Herr Darboux (nach einer 

 mundlichen Mittheilung) gefunden, dass die Auffindung der Curven 

 sich auf Quadratur zuruckfuhren lasst, andererseits hat Herr 

 Klein dieselbe Bernerkung hinsichtlich derjenigen anf f 4 gelegenen 

 Curven gemacht, deren Tangenten singulare Linien eines zuge- 



1 In § 11 bestimmte ich f»'s Haupttan ff enten-Curven mittelst F 4 's Krummungslinien. 



2 Die hier angedeutede Methode zur Discussion der Kummerschen Flache und einer 

 zugehorigen Congruenz zweiter Ordnung und Classe grundet sich auf die Abb^- 



gangspunkt in der Abbildung desjenigen Complexes, dessen Singuluritatenflacho 

 ein Tetraeder ist, zu nehmen. (Lie, Repr. der Imag. Academic zur Chr.» 1 



