48. Demontrons d'abord: que la fond ion r e m U m ne peut s eva- 

 nouir, a la surface d'une sphere, que snr cerlaines courbes ou points 

 qui y sont situes. 



La fonction nommee etant entiere, elle ne peut devenir nulle 

 qii'en points, ou sur courbes, ou enfin sur surfaces^ Elle ne peut 

 alors s'evanouir en aucun espace, parce que l'equation etablie ne 

 donnera pour cbaque valeur de x et y que des valeurs determi- 

 ners, et en nombre fini, de la variable z. 



Maintenant, si la fonction homo^ene ne contient qu'une seule 

 variable, par exemple x, liquation representera an plan. Si elle 

 n'en contient que deux, par exemple x et y, 1'equation que 1'on 

 forme, r e m U m = 0, representera un systeme de surfaces cylindriques, 

 et les varietes qui y appartiennent, des plans et des lignes droites. 

 Dans le cas general ou toutes les variables x, y, z se trouvent en 

 meme temps, on aura evidemment, parce que la fonction est 

 homogene, un systeme de surfaces coniques avec ses varietes. 

 Le sommet de ces cones sera le point e. 



Ainsi, dans tous les cas, la fonction ne peut s'evanouir a la 

 surface d'une sphere donne^e qu'en points, ou sur des courbes, ou 

 elle est coupee par les surfaces et par les courbes, non sph6riques, 

 que nous venons de nommer. 



On peut aussi raisonner comme il suit. 

 Le nombre de variables independantes dans 1'equation de a 

 sphere etant deux, la fonction ne peut s'evanouir partont a sa 

 surface, lorsque le nombre de variables que contient la function 

 est plus petit que trois ; car alors, dans liquation homogene q« e 

 l'on etablira, il n'y a au plus qu'une seule variable independaDtc 



Dans le cas general, on peut poser y— b e et z— c, egales 

 (x— a e )u et a (x-a e )v. L'equation que l'on aura a former se rM 

 alors a l'equation d'un plan x— a e = 0, et a une autre equation 

 entre u et v; cela resultera de ce que la fonction doit etre homo- 

 gene. De l'autre cote, l'equation de la sphere se transform^ P ar 

 l^,en une equation entre u, v et x, qui est necessairement telleui^ 

 constituee qu'on ne peut faire disparaitre la variable x. I 1 s ' en ' 

 suivra qu'id on peut donner a u et a v des valeurs independa" ,es ' 



