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tandis que dans l'equation pr£c6dente la valeur de v doit dependre 

 de celle qu'on a attribute a la variable u. 



Ainsi, dans tous les cas, la fonction ne peut s'e>anouir partout 

 sur la surface de la sphere donnee. De plus, la fonction erant 

 algebrique, comrne aussi l'equation irr^ductible d'une sphere, on 

 conclut enfin que, lorsqu' elle s'y evanouit, cela ne se fera qu'en 

 points ou sur des courbes, mais non sur des parties continues 

 de la surface. 



49. Nous d^montrerons ensuite que: le premier terme de la 

 fonction r e m ll m , contenant la puissance (x— a e ) m , ne peut s'evanouir 

 qu'en cas de positions particutieres du systeme des axes ; et ces posi- 

 tions exceptionelles peuvent toujours 4lre evitees, par d'aussi petits 

 displacements que Von veut. 



Transportons d'abord les axes parallelement k eux-memes, 

 en sorte que e devienne Porigine nouvelle. Nommons £, tq, £ les 

 coordonnees ainsi introduites. Changeons ensuite la direction des 

 axes, sans d^placer l'origine ; et appelons les coordonnees 



que nous venons de considerer en dernier lieu. La fonction don- 

 nee, qui est homogene par rapport & £, rj, £, le sera encore par 

 rapport a yj', C- 



Cette fonction £tant entiere et homogene, comme nous avons 

 admis, le coefficient de £' m sera 6gal k la valeur partieuliere 



et d'un rayon egal k 1, est percee par l'axe des D'apres ce 

 que nous venons de de>elopper, le coefficient nomm£ ne peut, par 

 consequent, devenir nul qu'autant que l'axe des £' est choisi par- 

 ticulierement, de maniere a passer par un de ces points ou courbes, 

 a. la surface spherique, ou. doit s'evanouir la fonction proposee. 



Ainsi, generalement, la fonction contient un terrne correspon- 

 dant k la puissance £ m ; et dans le cas particulier et exceptionnel 

 ou ce terme disparait, il est toujours possible de l'introduire de 

 nouveau, en changeant la direction des axes aussi peu que l'on 



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