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existe, en general, pour toutes, par consequent aussi pour 9' g hj.j, 

 comine nous venons de le supposer. 



La fonction 9' g hj.j, developpee en serie autour du point p, 

 est donnee par Pequation (18). De la on deduit le developpe- 

 inent en serie, autour de la sphere S p> , de la fonction 9^.. i p ; 

 et on obtient ainsi ^equation nouvelle (19). A chaque terme de 

 la premiere serie, il correspond, evidemment, un terme du meme 

 ordre de la seconde dans le voisinage de cette sphere, a cela 

 pres que le premier, correspondant a n egale a o, doit alors s'e- 



En ne tenant plus compte de ce premier terme, qui disparaitra, 

 on aura done encore la propriete que chaque terme dont con- 

 siste le developpement de 9^...^ autour de la sphere S p sera, 

 dans son voisinage, d'un ordre infinitesimal plus grand d'une unite 

 par rapport a celui qui precede. Plus particulierement ainsi, le 

 terme correspondant a n egale a 1 doit etre d'un ordre plus petit 

 que tous les autres dont est composed la serie. Cet ordre ne peut, 

 en general, etre eleve par des reductions; de meme, il nedoitde- 

 venir infini, ce qui veut dire que le terme nomine" va s'evanouir 

 identiquement. 



Les termes de la serie (19), — qui represente le developpement 

 Q* e 9 i ghj._ip autour de la sphere S p — , etant des functions homogenes 

 de x - a P , y-b P i z-Cp, de la meme espece que celle qae nous 

 venons de traiter plus haut (n° 47), on peut les developper, a leur 

 tour, en series dans le voisinage du point q. On aura alors des 

 d£veloppements suivant les puissances croissantes de r q , qui sont 

 tout-a-fait analogues a celui donne par l'equation 48; et on formera 

 ainsi facilement, en sommant, une serie nouvelle, qui representee 

 la fonction cherch6e 9^..,,, dans le voisinage de ce dernier point. 



Observons maintenant que les termes en r m provenant de tous 

 ceux de la serie ancienne qui correspondent a des valeurs de 

 n plus grandes que 1, doivent etre d'un ordre infinitesimal plus 

 haut que ce terme en r q m qui derive du premier, correspondant 

 a n 6gale a 1. L'ordre des termes totaux dont consiste la 

 serie nouvelle doit done se r^gler sur ceux que fournit tout seul 



