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le dit terme predominant; et on reconnait ainsi immediatement 

 que la serie, dans laquelle peut etre developp^e la fonction 9'gh^.ip 

 dans le voisinage du point q, doit avoir une propriete" analogue 

 k celle de la se>ie (18), qui donnera la fonction 9^1 dans le voi- 

 sinage de p. Chaque terme doit 6tre d'un ordre infinitesimal plus 

 haut crane unite par rapport a celui qui precede: il ne peut pas, 

 en general, se reduire a- un ordre plus haut, ou s'evanouir iden- 



La proposition est done d6montr6e; car la propriete sup- 

 posed de la fonction 9W..1 amenera n£cessairement une propriete 

 analogue pour la fonction suivante 9^1,. 



55. L'ordre de la fonction 9>j...ip et de ses d6rivees. — 

 Ces proprietes des termes qui composent les series que nous ve- 

 nons de discuter, permettent enfin de determiner quel sera l'ordre 

 de la fonction <p' ghj Jp dans le voisinage de la sphere S p , et dans 

 celui d'une autre sphere quelconque, 8,. On n'aura plus a re- 

 douter des incertitudes a cause de reductions possibles, — qu'on 

 peut toujours £viter, comme nous le savons deja, en excluant 

 quelques positions particulieres, que pourraient occuper les centres 

 autour desquels on fait effectuer certains developpements en series. 

 Nous supposerons, du reste, que le nombre des index g, h,j,..l,p 

 doive etre 2, ou plus grand que 2. 



Cela pose, considerons deux functions consecutives, 9 i gb j.>i e * 

 9 i ghj...i P - Soil, de plus, s l'ordre de la fonction 9'ghj...! dons le voisinage 

 du point p; on d6montrera alors que s-(-3 sera celui de la fonction 

 9'i:hj...!p dans le voisinage du point q. 



En effet, des equations (18) et (19) on voit que, si l'ordre 

 de la premiere fonction, dans le voisinage du point p, est s, celui 

 de la seconde 9 i g hj...i P i P'&s de S p , doit etre s-J-l; car les termes 

 correspondant a la m§me valeur de n sont, dans le voisinage de 

 p et de S P , du meme ordre infinitesimal, excepte que le terme 

 particulier qui correspond k ze>o disparaltra dans la serie expri- 

 mant la fonction 9 i g hj.~ip- De l'autre cote, chaque terme doit etre 

 d'un ordre infinitesimal plus haut d'une unite par rapport k celui 

 du terme precedent; et il n'y a pas, comme on sait, d' elevations, 

 que dans des cas particuliers que l'on peut toujours exclure. 



