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erreicht also tg 2 # ein Maximum ; dieses ist : 



tg 2 # m = tg 2 (N — V) 



&™ = N — V = 6> 

 Der zugehörige Werth von # m ergiebt sich aus : 



tg 2 ^ = tgN.tg(N-V). 

 Für SS = V erhält man: 



„ COS 2 N . n - .0 .v. 



cos 2 # = — ^r- also # = @ 90 , — 0. 



90 COS 2 V 90 



Wächst nun SS, so wächst # bis zu einem Maximum *™ = <9 und nimmt 

 dann wieder ab, # 90 nimmt beständig ab. 



Die einhüllende Fläche der sämmtlichen elliptischen Kegel ergiebt 

 sich auf folgende Weise. Setzt man zur Abkürzung : 



sin 2 SS — sin 2 V = A sin 2 $ — sin 2 V sin 2 x = C 

 sin 2 N — sin 2 SS = B sin 2 SS — sin 2 V + cos 2 N = D, 

 so kann man (7) schreiben : 

 (7 a) tg 2 #.CD — AB = 0. 



Differentiirt man diese Gleichung nach sin 2 SS, so erhält man: 



tg 2 #(C + D) + A — B = 0. 

 Quadrirt man diese Gleichung und subtrahirt davon die erste, nachdem 

 man sie mit 4 (tg 2 ,9- -j- 1) multiplizirt hat, so ergiebt sich : 



tg 4 d- (C - D) 2 + tg 2 d- [2 (C - D) . (A + B) + 4 ( A - C) . (B + D)] + (A + B) 2 = 

 [tg 2 #(sin 2 V cos 2 ^ - cos 2 N) + sin 2 N -sin 2 V] 2 -4 tg 2 # sin 2 V cos 2 V cos 2 / = 



j[cos 2 # . cos 2 V+sin 2 #sin 2 Vcos 2 /— cos 2 N] 2 — 4sin 2 ^cos 2 ^sin 2 Vcos 2 Vcos 2 ^ 



^^[(cos#.cosV+sin#sM 



Diese Gleichung stellt aber die beiden um die optischen Axen ge- 

 legten Kegel mit dem Öffnungswinkel 2N dar. Diese werden also von 

 den elliptischen Kegeln berührt und je zwei unendlich benachbarte von 

 diesen schneiden sich in Linien, die auf den Kreiskegeln liegen, wenigstens 

 so lange sin 2 SS < sin V sin N cos (N — V) ist. Für grössere Werthe von SS 

 schneiden sich die Ellipsen in imaginären Linien 1/cos 2 & = 0. 



Der Kaum im Innern beider Kreiskegel wird also von den elliptischen 

 Kegeln vollständig ausgefüllt, und zwar gehen durch jeden Punkt zwei 

 Kegel, da ja zu jedem Werthe / und # zwei positive Werthe von e ge- 

 hören (siehe S. 4). Da jedoch der kleinere von diesen beiden Werthen 

 zu benutzen ist und andererseits zu einem kleineren e resp. SS ein grösserer 

 Winkel # 90 gehört, so wird der Punkt als zu dem Kegel gehörig zu be- 

 trachten sein, dessen Durchschnitt mit der Ebene % = nß von der Linie 

 am weitesten entfernt ist. Es werden also nur diejenigen Stücke der Kegel 

 in Betracht kommen, die zwischen der Ebene % = und den Berührungs- 

 linien der Kegel mit den Kreiskegeln liegen. In Fig. 2 sind in dem 

 Quadranten links unten die Schnittlinien der Kegel mit der Construktions- 

 kugel für drei Werthe von (SS — V) für Aragonit und n = 1,6 gezeichnet, 



