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Es werden dann bezüglich der Drehungen eines Systems um einen 

 festen Punkt eine Reihe neuer sowohl als bereits bekannter Sätze entwickelt, 

 an die sich eine Eintheilung der Systeme in Classen anschliesst. Von den 

 neuen Sätzen ist folgender der wichtigste: 



Besitzt ein System von der Ordnung n p Axen von der Ordnung q 

 von derselben Art, p 1 Axen von der Ordnung q 1 von derselben Art, p" Axen 

 von der Ordnung q" von derselben Art (die alle durch denselben Punkt 

 gehen), so ist 



11 = p q == p [ q 1 = p" q« 

 Beispiele: 



ReguläresTetraeder: Axen einer 1. Art, 4 Axen von der Ordnung 3, 



4 . 3 = 12. 



Axen einer 2. Art, 4 Axen von der Ordnung 3 (die Inversen der vorigen), 



4 .3 == 12. 



Axen einer 3. Art, 6 Axen von der Ordnung 2 (3 Doppelaxen), 6 . 2 = 12. 



Die Classification Curie's stimmt, soweit Systeme mit einer endlichen 

 Anzahl von Symmetrieaxen in Betracht kommen, mit der von Brav Ais 

 überein. Die tabellarische Übersicht wird hier nicht abgedruckt, weil ihr 

 Inhalt vollständig in einer umfassenderen Tabelle der zweiten Abhandlung 

 enthalten ist, die unten gegeben wird. 



Diese beschäftigt sich zunächst mit allgemeinen Betrachtungen über 

 Symmetrieverhältnisse im engern Sinn (symetrie im Gegensatz zu repetition). 

 Symmetrisch nennt der Verf. zwei Punktsysteme, die in solcher Beziehung 

 zu einander stehen, dass beide mittelst derselben analytischen Bestimmungs- 

 stücke erhalten werden, die sich auf zwei rechtwinklige Coordmatensysteme 

 beziehen, bei denen zwei in gleicher Weise bezeichnete Axen (x und z) 

 zusammenfallen, während die dritte Axe (y) bei beiden entgegengesetzt 

 gerichtet ist. Zwei solche symmetrische Systeme entsprechen einander 

 Punkt für Punkt, alle einander entsprechenden Entfernungen und Grössen- 

 verhältnisse sind dieselben ; es ist hierbei nicht ausgeschlossen , dass die 

 Punkte mit irgend welchen Eigenschaften versehen sind, wenn diese nur 

 analytisch durch drei rechtwinklige Coordinaten ausgedrückt werden können. 



Ist ein Punktsystem mit dem mit ihm symmetrischen System identisch, 

 so heisst es selbst symmetrisch. Mittelst wesentlich geometrischer Be- 

 trachtungen wird gezeigt, dass folgende Fälle vorkommen können. Ein 

 symmetrisches System besitzt entweder 



eine Ebene der directen Symmetrie mit Pol von der Ordnung q 

 oder eine Ebene der alternen Symmetrie mit Pol von der Ordnung q 

 oder ein Centrnm der Symmetrie 



oder eine Ebene der translatorischen directen Symmetrie 

 oder eine Ebene der translatorischen alternen Symmetrie. 



(q ist irgend eine ganze Zahl.) 

 Der erste Fall ist vorhanden, wenn das System eine q-zählige Sym- 

 metrieaxe und dazu senkrechte Symmetrieebene (im üblichen Sinn) besitzt. 

 Durch eine Drehung um ein Vielfaches von rc/q um diese Axe kommt das 



