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besondere aber bei Combinationen erleiden, und zu untersuchen, 

 ob und welche Gesetzmässigkeiten in dieser Beziehung aufge- 

 funden werden können. Wir wählen zunächst beispielsweise die 

 Körper des regulären Systems. Man kann hierbei für den Um- 

 riss der einzelnen Flächen eines Körpers dreierlei Fälle unter- 

 scheiden , nämlich den Umriss der Fläche 1) bei der einfachen 

 idealen Gestalt, 2) bei Combinationen mit verschiedenen anderen 

 Körpern, 3) bei den sog. Verzerrungen, d. h. wenn zu der Ver- 

 änderung des ursprünglichen Flächenumrisses durch Combinatio- 

 nen auch noch die durch ungleiche räumliche Ausdehnung der 

 verschiedenen Flächen gleicher Qualität hinzutritt. Zunächst wol- 

 len wir der einfacheren Anschauung wegen nur die zwei erst- 

 genannten Fälle in's Auge fassen, wobei dann den Bezeichnungen 

 der Umrisse zugleich ihre mathematische Bedeutung bleibt, ohne 

 dass die krystallographische sich aufhöbe. 



Würfel. — Die Fläche des einfachen Würfels ist ein 

 Quadrat, also eine Figur mit vier gleichen Seiten und vier glei- 

 chen Winkeln, eine Figur, welche eine vierfache Symmetrie zeigt, 

 nämlich um zwei Linien, welche durch den Mittelpunct der Figur 

 gehen und parallel sind zu den Seiten des Quadrats , und um 

 zwei Linien, welche die eben genannten Symmetrallinien im 

 Mittelpunct unter Winkeln von 45° schneiden. Werden die Ecken 

 des Würfels durch die Flächen des regulären Octaeders abge- 

 stumpft, so wird die Würfelfläche zu einem Achteck, in wel- 

 chem die ursprünglichen Quadratseiten unter sich gleich bleiben, 

 die vier neuen Seiten ebenfalls unter sich , und die 8 Winkel 

 unter sich gleich (= 135°) sind. Rücken die Octaederflächen 

 näher und näher zusammen, so dass die Würfelfläche kleiner und 

 kleiner wird, so wird letztere schliesslich , indem je zwei Oc- 

 taederflächen sich berühren , zu einem Quadrat , das zwar noch 

 dieselben Symmetrallinien hat, wie das ursprüngliche, aber um 

 45° gegen dasselbe gedreht ist. In der Combination des Wür- 

 fels mit dem Granatoeder bleibt die Würfelfläche quadratisch, 

 nur wird sie um so kleiner, je mehr die Granatoederflächen an 

 Umfang zunehmen, und in der Combination mit Octaeder und 

 Granatoeder zugleich erscheint wieder das beschriebene Achteck. 

 Das Hinzutreten eines Leucitoides zum Würfel ändert den Flä- 

 chenumriss des letzteren in gleicher Weise, wie das Octaeder, 



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