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das eines Pyramide nwür (eis wie das Granatoeder ab; und Com- 

 binationen mit mehreren dieser Körper zugleich liefern ebenfalls 

 keine neue Abänderung am Umriss der Würfelfläche. Anders 

 ist es, wenn der Würfel sich mit einem Pyramidenoctaeder oder 

 einem Achtundvierzigflächner combinirt. Die quadratische Wür- 

 felfläche wird alsdann zunächst zum Zwölfeck , in welchem die 

 vier ursprünglichen Seiten gleich und die acht neuen Seiten unter 

 sich gleich sind. Unter den zwölf Winkeln sind die vier in der 

 Gegend der ursprünglichen Quadratecken gleich, die acht übrigen 

 ebenfalls unter sich gleich. Je mehr sich die Flächen der ge- 

 nannten Körper auf Kosten der Würfelflächen vergrössern, desto 

 mehr nähert sich die Gestalt des Zwölfecks der eines Achtecks, 

 in welchem aber im Gegensatz zu dem oben beschriebenen Acht- 

 eck die acht Seiten gleich, dagegen die Winkel nur je zu 4 und 

 4 gleich sind. Die Combination des Würfels mit einem Acht- 

 undvierzigflächner (oder einem Pyramidenoctaeder) und dem Oc- 

 taeder (oder einem Leucitoid) gibt zunächst ein Sechszehneck 

 mit 4 gleichen, 8 gleichen und wieder 4 gleichen Seiten und mit 

 je zu 8 und 8 gleichen Winkeln, hernach, indem die ursprüng- 

 lichen Quadratseiten verschwinden, ein Zwölfeck, das mit dem 

 vorhin beschriebenen Zwölfeck zwar gleiche Symmetrieverhält- 

 nisse zeigt, aber gegen dasselbe um 45° gedreht ist. 



Überschaut man die ganze Reihe der beschriebenen Figuren, 

 so sieht man leicht ein, dass jene vierfache Symmetrie, welche 

 oben für das erste Quadrat angegeben wurde, auf alle diese Fi- 

 guren passt. Man kann kurz sagen, mit Ausnahme jener acht Puncte 

 der Peripherie des Polygons, welche auf den 4 Symmetrallinien 

 selbst liegen, lassen sich immer acht Puncte auf der Peripherie 

 angeben, welche unter sich gleiche Lage zu den Symmetrallinien 

 haben. Die Reihe der Figuren, welche die Würfelfläche unter 

 verschiedenen Umständen zeigt, hätte sich leicht noch vermehren 

 lassen; es Hesse sich z. B. bei der Combination von Würfel mit 

 Octaeder und zwei verschiedenen Pyramidenoctaedern oder Acht- 

 undvierzigflächnern ein Vierundzwanzigeck als Umriss der Würfel- 

 fläche denken u. s. w. ; aber man sieht leicht ein, dass unter allen 

 Umständen die Figur, welche die Würfelfläche zeigt, dem ausge- 

 sprochenen vierfachen Symmetriegesetz unterworfen ist. 



Will man eine Bezeichnung suchen, die für alle jene Figuren 



