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Weise immerfort wiederholen kann. Ersetzt man daher jedes Krystall- 

 element durch seinen Schwerpunkt, so lautet die Hypothese: „Kr y stalle 

 — unbegrenzt gedacht — sind regelmässige unendliche 

 Punktsysteme". Hierdurch ist nun die Aufsuchung aller Krystall- 

 strukturformen auf die rein geometrische Aufgabe zurückgeführt, alle 

 unendlichen regelmässigen Punktsysteme zu finden. Diese 

 Aufgabe wird nach dem Vorgange Camille Jordan's erschöpfend gelöst. 

 Zwar giebt es unendlich viele solche Punktsysteme; indessen sind unter 

 ihnen nur 66 wesentlich verschiedene Arten zu unterscheiden, welche sich 

 in eine kleine Anzahl von Hauptabtheilungen einreihen lassen. Das Ein- 

 theilungsprincip der sämmtlichen Punktsysteme wird am leichtesten an 

 einem Beispiel erläutert. Die schon oben erwähnte bienenzellenartige An- 

 ordnung von Punkten, bei welcher nur die Ecken der Sechsecke mit Mo- 

 lekelcentren besetzt zu denken sind, hat augenscheinlich die Eigenschaft, 

 mit sich selbst zur Deckung zu gelangen, wenn man sie um eine Axe, die 

 senkrecht zur Zeichnungsfläche durch den Mittelpunkt irgend eines der 

 Sechsecke gelegt ist, um 60° (d.h. um den 6ten Theil einer Volldrehung) 

 dreht. Aus dem Umstände, dass zwar alle Punkte des Systems hierbei 

 in neue Lagen geführt sind, dass aber trotzdem alle vorher besetzt ge- 

 wesenen Orte wieder besetzt sind, folgt, dass kein Punkt des Systems 

 irgend eine Besonderheit seiner Lage vor den übrigen voraus hat, d. h. 

 dass das System wirklich ein im oben angegebenen Sinne regelmässiges 

 ist. — Bei anderen Systemen lässt sich Deckung mit sich selbst nicht durch 

 Drehung allein, sondern nur durch Drehung mit gleichzeitiger Verschie- 

 bung längs der Drehungsaxe, d. h. durch Schraubung, herbeiführen; dann 

 ist also die „Deckbewegung" eine Schraubung. Versteht man nun unter 

 „Axe eines Systems" die Axe einer Deckbewegung desselben, so ist obiges 

 Bienenzellensystem ein solches mit „6-zähligen Axen". Zur Charakteri- 

 sirung der verschiedenen regelmässigen unendlichen Punktsysteme dienen 

 hiernach die verschiedenen ihnen zukommenden Deckbewegungen. Unter- 

 suchungen darüber, was für verschiedene Arten von Axen in solchen 

 Punktsystemen überhaupt nur möglich sind, und in welcherlei verschie- 

 denen gegenseitigen Lagen sie vorkommen können, bilden — neben der 

 historischen Einleitung und der Einführung der Hypothese — den wesent- 

 lichen Inhalt des ersten Abschnitts. Es stellt sich heraus, dass keine 

 anderen Axen, als 6-zählige, 4-zählige, 3-zählige und 2-zählige in jenen 

 Punktsystemen möglich sind. Es mag übrigens bemerkt werden, dass 

 weder bei diesen, noch bei allen folgenden Entwicklungen höhere Mathe- 

 matik zur Anwendung gelangt; die wenigen unentbehrlichen Hülfssätze 

 aus der Kinematik aber sind nebst ihren einfachen Beweisen im ersten 

 Abschnitt aufgeführt. 



Im zweiten Abschnitt wird darauf zur Aufsuchung der einzelnen Sy- 

 steme selbst geschritten. Die sämmtlichen hierbei gewonnenen Resultate 

 sind im letzten Capitel dieses Abschnitts in einer Übersichtstabelle aller 

 66 regelmässigen unendlichen Punktsysteme zusammengestellt. Diese 

 Tabelle bildet den Kern der ganzen Schrift, so dass man die gesammte 



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