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Th. Liebisch: Zur Lehre von den Kry Stallzwillingen. (P.Groth: 

 Zeitschr. für Kryst. u. Min. Bd. IV. p. 201-203.)' 



Der Verf. leitet eine neue Form der Gleichung ab, mit Hülfe deren 

 aus den gegebenen Elementen eines Krystalls, den Indices einer Zwillings- 

 ebene und den Indices einer Fläche des einen Individuum, die Indices 

 der correspondirenden Fläche des anderen Individuum berechnet werden. 



Der Herleitung des Verf. liegt ein, aus den Elementen der analytischen 

 Geometrie leicht abzuleitender Satz zu Grunde, der am einfachsten so aus- 

 gesprochen werden kann: 



Es seien 5 Ebenen: E 1? E 2 , E 3 , E 4 , E 5 durch die Gleichungen definirt: 

 a^,x + b v y + c v z + l = o für v = 1, 2, 3, 4, 5 

 in welchen x, y, z rechtwinkelige oder schiefwinkelige Coordinatenachsen 

 bedeuten. Die Ebenen seien so gelegen, dass ihre Schnittlinien einander 

 parallel sind, ausserdem sei: 



a 3 = o, d. h. E 3 ist parallel der Achse x, 

 b 4 = o „ „ E 4 „ „ » » y? 

 c 5 = o „ „ E 5 „ „ » » z - 

 Dann besteht die Doppelgleichung: 



m a 2 sin (E t , E 3 ) = b^ sin (E t> E 4 ) = c^ > sinJE^ 



( ; a7 ' "sMEaTEÖ b t ' sin (E 2 , E 4 ) q sin (E 2 , E 5 ) 

 wenn (E l5 E 3 ) den Neigungswinkel der Ebenen E 4 und E 3 bezeichnet. 



Sind nun E 4 , E 2 zwei einander correspondirende Flächen eines Zwil- 

 lings und E 3 , E 4 , E 5 drei den Krystallachsen resp. parallele Flächen, die 

 ausserdem zu derselben Zone gehören, wie die Ebene E 4 und die Zwil- 

 lingsebene, so sind die obigen geometrischen Voraussetzungen erfüllt. 

 Ausserdem ist, wenn Z die Zwillingsebene bezeichnet: 

 (E l5 E,,) = (E 4 , Z) + (Z, E /c ) = -j(Z, E 4 ) - (Z, E /f )|= (Z, E 2 )+(Z,E /I ) 

 (E 2 ,V = (E 2 ,Z) + (Z,E /X ) - (Z,B 1 ) + (Z,E /I ) =-{(Z,E 2 )-(Z,E /l |j 



für p — 3, 4, 5. 



Dann lautet die obige Gleichnng (I): 



n sin j(Z, E 4 ) - (Z^ _ b, # sin j(Z, E t ) - (Z, E 4 )j 

 ' a i ' sh7j(Z, E t ) + (Z, E 3 )> b i ' sin {(Z, E t ) + (Z, E 4 )J 

 = Ca _ sin jCZ,^) - (Z,E 5 )j 

 Ci ' riü~j(Z, E t ) E 5 )j 



oder auch: 



^ sin j(Z, E 2 ) + (Z, E 3 )j sin \(Z, E 2 ) + (Z,_E*)j 



III. 



1 sin !(Z, E 2 ) - (Z, E 3 )j b i ' sin j(Z, E 2 ) - (Z, E 4 )| 



_^ sin j(Z, E 2 ) + (Z, E,)j 

 ~~ q ' sin |(Z, E 2 ) - (Z, E,)(' 



