12 AXEL THUE. [No. 9. 



Vi skal nu paavise, at denne ligning (a) bestaar for alle 

 punkter af den brakistokrone kurve paa en hvilkensomhelst flade 



F{xyz) = 



og det gjaelder da at finde ligninger definerende denne kurve. 

 I variationsregningen be vises nu, at dersom 



(D (xyz) = 



saa har udtrykket 



ff(Xyzx,y,z,)du : 

 kuu da et relativt maximum elier minimum, naar 

 (5 / [f {xyzx;y,z,) + X<D (xyz)] da = 



Her betegner xyzl funktioner af u alene. 



Det er saaledes klart, idet man erindrer udviklingen af. 

 ligningerne (I), at felgende tre ditferentialligninger definerer den 

 segte kurve: 



P + 2jjx„ ~ (Px, + Qy, + Rz,) x, =\Xp 



Q 4 2 uy„ ~ (Px, +\Qx, + Re,) y, = ).q (0 



B 4 2fy„ + (Px, + Qy, 4 Rz,) e, - lr 



eller idet /, cler her kan betragtes forskjelligt fra 0, hvilket til- 



felde allerede er behandlet, elimineres 



q [P + 2ux„ ~ (Px, + Qy, 4- 2fe,) ^1 = 



P [Q 4 2cy„ -f- (P#, + 4- Bf J y,} 



r [Q + 2r 7/ „ -5- (Pr, + Qy, 4- »] = 



g [P 4- 2 0z„ 4- (Pr, 4- Qy, 4- fe) *J ( } 



p [R + 2uz„ -4- (Px, 4 ^ 4- Bz,) e,] - 

 r [P 4- 2nr„ -f- (Pa:, 4- <?//, -I- 



