Vi skal dernasst paavise, at udtrykket C er nul. 

 Man har nemlig da 



^, + ^,,-+-^,,==0 



C=p%x„ + qhj,y„ + rH,z„ +pqx,y„ + qpy„x, + 

 mz,, + rqz,y„ +prx,z„ + ^z,, 



Men multipliceres ligningen (d) successive med px„qy„rz„ 

 saa fremkommer ligningerne: 



p'x,x„ = —pqy,x„ -*rprz,x„ 



( fu>u, f = — (FZ.y,, -5- qpx,y„ 



r'ej„ = — rpx t z n +-rqy f z„ 



Indferes vaerdierne af ft og & i den saaledes reducerede 

 ligning, har man ligningen (a) og derved vort theorem bevist. 



Som et exempel paa anvendelsen af den nys beviste sats, 

 kan naevnes det tilfaelde, da den bevaegende kraft er nul eller 

 med andre ord, at hastigheden er konstant. 



Den brakistokrone kurve er da selvfelgelig ogsaa en geodse- 

 tisk kurve. 



Paa grund af vort theorem felger nu, at normalaccelera- 

 tionens projektion paa tangentplanet ligeledes er lig nul, eller 

 ved en geodaetisk kurve staar sammes hovednormal lodret paa 

 den tilherende fade. 



Dctte theorem udledes ogsaa som bekjendt meget let af 

 princippet for den mindste virkning. 



Man bemaerker til slutning, at den ferst fremsatte sats om 

 den brakistokrone kurve i rummet direkte kan erholdes af den 

 sidst beviste saetning i hvilken kurven skal vaere beliggende paa 

 en given flade. 



Den brakistokrone kurve paa en hvilken som heist flade 

 gjennem den brakistokrone kurve i rummet er nemlig selvfelge- 

 lig identisk med denne og da under fladens variation tangent- 

 planet for hvert punkt paa kurven kan bringes til at antage 

 hvilken som heist stilling, medens den bevaegende kraft, tangen- 



