6 SOPHUS lie. [No. 13. 



Urn nun den aufgestellten Satz zu beweisen geniigt es 

 r = 2m -f q unabhangige Funktionen Pi... P m+q Xi...X m von 

 91 ... c r zu bestimmen. welche in den Beziehungen 



[Pi Xi] = 1, [Pi P k ] - [Pi XJ = [Xi X k ] = (6) 

 (***) 



stehen. 



Dies gelingt folgendermassen. Sind alle [91 9k] = 0, so braucht 

 man nur cpi = Pi zu setzen. 



• Wir konnen daher annehnien, dass nkht alle [91 9k| gleich 

 Null sind. Alsdann giebt es immer eine Grosse 'I' (91 . . . <p r ), 

 welcbe die lineare partielle Differentialgleichung 



befriedigt. 



Wir setzen sodann 



9, = p h <i> = Xi 

 und erkennen leicht vermoge (5), dass die beiden partiellen Dif- 

 ferentialgleiclnmgen 



[Pi/] = 0, [Xi/]=0 

 in den unabhangigen Veranderlichen 91... 9, ein vollstandiges 

 System mit den Losungen 91' . . . 9' r _2 bilden. Es ist dabei 

 unmittelbar einleuchtend wegen [Pi Xi] = 1, dass Pi Xi 91' . . . ?'r-2 

 unabhangige Funktionen von 91 ... 9, sind. 



Sind nun alle [9^ o' k ] gleich Null, so setzen wir 9'i = Pa 



Sind dagegen einige [9'i o\] etwa einige [o'i 9'k] von Null 

 verschieden, so setzen wir 9^ = P 2 , bilden die Gleicbungen 



[91/I-O, [Xi/]=0,[P 2 /]-l=0 



und verificiren in bekannter Weise, dass sie unabhangig sind 

 und gemeinsame Losungen besitzen. Eine solche Losung setzen 



Indem man so weiter geht, erkennt man dass es wirklich 

 immer /• = 2m + q unabhangige Grossen Pi . . . P«+ n-Xi ■* » • *■ 

 giebt, welche die Relationen (6) erfiillen: 



