in der Lehre von der Symmetrie. 



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Strücturärten der Krystalle angegeben. Insofern diese Ab- 

 leitung auch die vollständige Ableitung vom regelmässigen 

 Punktsysteme ist, fand sie in dem Werk von H. Schönflies: 

 „Ery stallsysteme und Krystallstructur" die erwünschte Be- 

 stätigung (p. 622). 



Aber Schönflies hielt sich fern von dem Begriffe der 

 „Molekelsphäre", d. h. des dem Molekel angehörenden Rauni- 

 theiles , welchen Begriff der Verfasser als Grundbegriff der 

 Theorie der Krystallstructur ansieht. Diese Molekelsphäre 

 soll die Form eines „Paralleloeders" haben 1 . 



Die Verschiedenheit in den Typen der convexen Par- 

 alleloeder bedingt auch die Verschiedenheit in der Krystall- 

 structur; die vollständige Ableitung von den Paralleloeder- 

 typen war also das wahre Zeitbedürfniss 2 . 



Es kann auch vorausgesetzt werden, dass das Princip der 

 kleinsten Oberflächen auch bei den Oberflächen der Molekel- 

 sphären (der Paralleloeder) in Anwendung kommt; ist das 

 der Fall, so erhält die Frage über die kleinsten Oberflächen 

 der Paralleloeder eine besondere Bedeutung. 



Einen sehr particulären Fall dieser Frage bildet die 

 Mac LAUMN'sche Aufgabe von der Bienenzelle, d. h. von den 

 Winkeln, bei welchen eine symmetrische Änderung in der 

 Lage einiger Flächen eines Paralleloeders (und zwar des 

 Hexaparalleloeders) zur kleinsten Oberfläche führt 3 . 



Diese Aufgabe bezieht sich auf ein sehr lehrreiches Bei- 

 spiel dafür, was der Verstand und der Instinct so kleiner 

 Insecten, wie die Bienen sind, leisten kann. Es kann scheinen 

 (und das soll die Meinung mancher hervorragenden Vertreter 

 der Naturwissenschaft sein), dass die Bienen in dem Bau ihrer 

 Zellen eine nicht sehr einfache Aufgabe der Lehre von den 

 maximis et minimis gelöst haben, und zwar fanden sie ein 

 solches Paralleloeder, welches bei gegebenem Volumen die 

 kleinste Oberfläche besitzt. Diese Auflösung spielt für ihr 



1 Unter Paralleloeder versteht man die den Raum in paralleler Lage 

 lückenlos erfüllenden Figuren. 



2 Die vollständige Ableitung wurde vom Verfasser im Werke „Ele- 

 mente der Gestaltenlehre " § 77 publicirt. Jetzt ist diese Ableitung von 

 Seiten der Herrn Minkowsky und Schönflies bestätigt worden. 



3 Mac Laurin, Philosoph. Transact. 1743. 



