in der Lehre von der Symmetrie. 



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stabiler sein, die zu den Systemen der höheren Symmetrie 

 gehören." 



Hilfssätze. 



Satz 1. Ist eine positive Zahl a in positive 

 Theile a 15 a 2 . . . a n getheilt, so hat das Product 

 a 15 a 2 . . . a n derselben den gros st en Werth, wenn 

 a, = a 2 = ? . . — a n = a/n. 



Für Maximum oder Minimum einer Function sind sämmt- 

 liche partielle Differentiale gleich 0, also : 



dz,, da^_ ^ d^ ==0 d*! , a) 



ai + a 2 " ' a 1 ^ a 3 " a 1 a n 



wenn a x als Function aller anderen Variabein angenommen wird. 



Aber zwischen denselben Grössen besteht noch die Re- 

 lation : 



a x + a 2 + - + a n = a > 



also auch: 



^a 2 + ^==0; ^ s + öz s = ^* n ±ö^6. b) 



Auf Grund dieser Relationen finden wir: 



a i = a 2 = = a u c ) 



als Maximum resp. Minimumbedingung. 



Das vollständige Differential des Productes ist : 



<*äi . da , 

 und für das zweite Differential finden wir: 



-{$+$+:■■: + ¥) < * 



Daraus ist zu schliessen, dass c) sich auf ein Maximum 

 bezieht. 



Satz 2. Unter sämmtlichen einem Kreis um- 

 schriebenen n-Seiten hat das regelmässige die 

 kleinste Fläche (ebenso erhält die ihr direct proportionale 

 Grösse des Perimeters den kleinsten Werth und ebenso den 

 kleinsten Umfang). 



Es sei r der Radius des eingeschriebenen Kreises. Nun 

 verbinden wir sämmtliche Eckpunkte und Berührungspunkte 

 des Polygons mit dem Mittelpunkt des Kreises durch Geraden. 

 Dann entstehen im Mittelpunkte 2n verschiedene Winkel, 



