in der Lehre von der Symmetrie. 



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a 2 . . . 1 , die Punkte B und A n haben also für die Gesammt- 

 heit aller beliebig angenommenen Dreiecke eine feste Lage, 

 und die gebrochene Linie ÄÄ 1 A 2 \ . . A ü ist die Summe der 

 Hypotenusen. 



Nun ist klar, dass die letzte Grösse ein Minimum wird 

 für die Gerade AA n , und dieser Fall ist gerade der, bei 

 welchem die Dreiecke selbst sämmtlich untereinander ähn- 

 lich sind. 



Folgerung. Nehmen wir die Katheten a 15 a 2 . . . und 

 bj , b 2 . . . und die Hypotenusen 

 für die Seiten der Rechtecke, 

 deren Höhen m , m 1 , m 2 . . . . 

 entsprechend gleich sind, ersetzen 

 wir diese Eechtecke durch die an- 

 deren mit ihnen gleichflächigen, 

 und seien sie auch von gleicher 

 Höhe, so dass die dem Dreieck 

 a x , b 4 , c i entsprechenden die Höhe m 1 

 haben, die dem Dreieck a 2 , b 2 , c 2 

 entsprechenden die Höhe m 2 Fig. 1. 



u. s. w. Die Grundseiten dieser 



anderen Eechtecke bezeichnen wir durch a/, b/, c/; a 2 ', b 2 ', 

 c 2 ' u. s. w., so haben wir: 



ma t = m 1 & 1 '; ma 2 — m 2 a 2 ; 



mb 1 = V> mb 2 = m 2 b 2 ' 



mCj = m a ; mc 2 = m 2 c 2 ' 



Da die Geraden m, m 1? m 2 als bestimmt gelten können, 

 so sind a/, a 2 ', a 3 ' . . . als bestimmt anzusehen. Für die 

 Seiten b gilt aber die Eelation: 



+ m 2 b 2 ' + . . . =m(b 1 + b 2 + . .".). 



Die erste Summe ist durch die letzte, als gegebene, be- 

 stimmt. Endlich auf Grund der Gleichung 



m 1 c 1 ' + m 2 c 2 ' + . . . = m (c, + c 2 + . . .) 

 schliessen wir, dass die Summe der Flächen, welche den 

 1. Theil bilden, mit der Summe (c x + c 2 + . . .) gleichzeitig 

 ein Minimum wird. Zufolge des eben bewiesenen Satzes 

 schliessen wir, dass sämmtliche Dreiecke ähnlich sein müssen. 



1 Jacob Steiner, Gesammelte Werke. Bd. II. p. 281. 



