64 



E. von Fedorow, Minimiimproblem 



Also: Ist von n rechtwinkeligen Dreiecken mit 

 gleichen Katheten a t ', a 2 ' . . . die Summe der Recht- 

 ecke der übrigen Kathete b/, b 2 ' . . . in gegebene 

 Geraden m^m^nig . . ., also die Summe n^b/ -j-mgb/-)- . . . 

 gegeben, so ist die Summe der Rechtecke der 

 Hypotenusen c/, c 2 ', c 3 ' . . . in die nämlichen Ge- 

 raden, also die Summe m x c/ -f- m 2 c 2 ' -f- . . . ein Mi- 

 nimum, wenn die Dreiecke gleich sind. 



Satz 4. Von zwei Pyramiden , welche geraden 

 Kegeln umschrieben sind, gleiche Höhe und 

 gleich grosse Grundflächen haben, hat diejenige 

 eine kleinere Seitenfläche, deren Grundfläche 

 dem grösseren Kreise umschrieben ist 1 . 



Heissen die Pj-ramiden P und F t , ihre Seitenflächen fi 

 und fj^ , so sei die Grundfläche von P dem grösseren Kreise 

 umschrieben. Aus den Mittelpunkten der den Grundflächen 

 eingeschriebenen Kreise fälle man Perpendikel p und p x auf 

 die Seitenflächen, so ist offenbar 



P > p,; 



und da nun 



und nach Voraussetzung P = P 15 so muss 

 sein. 



Hauptsätze. 



Satz 1. Unter sämmtlichen dieselbe Basis- 

 seite und dieselbe Höhe besitzenden Parallelo- 

 grammen hat das Rechteck den kleinsten Umfang. 



Ein Paar Seiten bleibt dasselbe, vom anderen Paare 

 bildet die Seite des Rechtecks den kürzesten Abstand zwi- 

 schen denselben Geraden. 



Folglich: 



Satz 2. Unter sämmtlichen gleichflächigen, 

 dieselben Winkeigrössen besitzenden Parallelo- 

 grammen hat der Rhombus den kleinsten Umfang. 



1 Jacob Steiner, Gesammelte Werke. Bd. II. p. 282, 



