in der Lehre von der Symmetrie. 



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Es seien a und b die Seiten des Parallelogramms und a 

 einer seiner Winkel, so ist seine Flächengrösse : 



Nun ist bekannt (Hilfssatz 1) , dass bei ä '-)- b = const. 

 das Product ab den grössten Werth c 2 besitzt, wo 2c = 

 a -f- b ; c ist aber die Seite des mit dem gegebenen Parallelo- 

 gramm gleichen Umfang besitzenden Rhombus, seine Fläche 

 hat also den grössten Werth. 



Folglich, umgekehrt .... 



Folgerung a. Aus diesen beiden Sätzen folgt unmittel- 

 bar, dass unter sämmtlichen gleichflächigen Par- 

 allelogrammen das Quadrat den kleinsten Um- 

 fang besitzt. 



Folgerungb. Unter sämmtlichen gleichgros- 

 sen geraden Parallelepipeden, welche eine ge- 

 meinsame Seitenfläche besitzen, hat das recht- 

 winkelige die kleinste Oberfläche. 



Folgerunge. Unter sämmtlichen gleich gros- 

 sen geraden Parallelepipeden, welche dieselben 

 Winkeigrössen der Basis und dieselbe Höhe be- 

 sitzen, hat dasjenige mit rhombischer Basis die 

 kleinste Oberfläche. 



Folgerungd. Unter s ämmtlichen gleich gros- 

 sen rechtwinkeligen Parallelepipeden, welche 

 dieselbe Höhe besitzen, hat dasjenige mit qua- 

 dratischer Basis die kleinste Oberfläche. 



Satz 3. Unter sämmtlichen Dreiecken von 

 gleicher Basis und Höhe hat das gleichschenkelige 

 den kleinsten Umfang. 



Die Basis sei c, und die beiden anderen Seiten seien 

 x und y. 



Bezeichnen wir die Hälfte des Perimeters durch p, und 

 die Fläche des Dreiecks durch P, so wird 



P = 



a . b . sin «. 



P 2 = 



p(p — c) (p — x) (p — y), und 2p = c + x + y. 



Also auch 



P 2 = 



p(p — c)(p — x) (c + x — p) 



und 



= = N^ + P (p-e)(2p-2x-c). 



dx 



N. Jahrbuch f. Mineralogie etc. 1894. Bd. I. 



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