in der Lehre von der Symmetrie. 



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Es ist evident, dass die Reihe noch nicht abgeschlossen 

 ist, wenn ihr letztes Glied nicht ein gleichseitiges Dreieck ist. 

 Nun nehmen wir an, dass dies in der That geschehen ist. Dann 

 erhalten wir dieselbe Reihe, indem wir diese Figur dem um- 

 gekehrten Process unterziehen. 



In dieser umgekehrten Reihe wird das zweite Glied ein 

 gleichschenkliges Dreieck mit dem stumpfen Winkel 120°, 

 das dritte mit dem stumpfen Winkel > 150°, das vierte mit 

 dem stumpfen Winkel > 165° . . ., und überhaupt, wenn ein 



C D E 



Fig. 2. 



Glied der Reihe ein gleichschenkliges Dreieck ist, mit dem 

 stumpfen Winkel 180°— a, so ist das folgende ein Dreieck 

 mit dem Winkel > 180°— aß. 



Es sei in der That ABC (Fig. 2) ein Glied mit dem 

 stumpfen Winkel C. Man ziehe BD II A 0, CDU AB und 

 verbinde die Punkte A und D durch die Gerade AD. 



In dem Dreieck ABD ist der Winkel A BD = A CB + 

 a/2- dabei ist BD == A C < AB. 



Verlängern wir noch die Gerade CD bis zum Punkte E, 

 welcher dadurch bestimmt wird, dass BE = AB; wie aber 

 BE=AB > BD, so ist der Winkel ABE>ABD. Ausser 

 dieser besonderen Reihe der stumpfwinkeligen Dreiecke 

 schliesst sich jede andere oben charakterisirte Reihe nicht, 

 ist also unendlich. 



Betrachten wir eine dieser unendlichen Reihen der Drei- 

 ecke, deren Perimeter die Seiten 2c x + b 15 2c 2 -(- b 2 , 2c s + 

 b 3 . . ., 2 0.^ + V- 15 2c i + \ - • •'■ haben. Dabei bestehen 

 noch die Relationen b 2 = c r , b 3 = c 2 . . ., b. = c. _ x . . . 



Zufolge des eben bewiesenen Satzes ist: 



2c i +b i <2c i _ 1 + b i _ 1 

 oder, indem wir von beiden Theilen 3 b. = 3c i _ 1 subtrahiren: 

 2 (Cj - c wi ) < - c i7 _ r a) 

 Es ist aber klar ? dass die absolute Grösse der Differenz 



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