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E. von Fedorow, Minimumproblem 



ferner die Höhe (oder der Inhalt) der Pyramide 

 gegeben, so ist die Summe ihrer Seitenflächen 

 dann ein Minimum, wenn die Pyramide einem ge- 

 raden Kegel umschrieben ist. 



Sei B die gegebene Grundfläche und C der ihr ein- 

 geschriebene Kreis. Über C denke man sich den geraden 

 Kegel mit der gegebenen Höhe, und über B die ihm um- 

 schriebene Pyramide P, deren Seitenflächen a , ß., y . . . 

 heissen mögen. Ferner denke man sich einen zweiten Kegel k, 

 welcher den ersten im Kreise C orthogonal schneidet und 

 somit auf der anderen Seite der Grundfläche steht; die Länge 

 der Kante des Kegels k sei gleich r. Endlich denke man 

 sich noch die dem Kegel k umschriebene Pyramide p über 

 der Grundfläche B; ihre Seitenflächen berühren den Kegel k 

 in solchen Kanten, welche respective auf den Seitenflächen 

 a, ß, y . . . von P perpendiculär sind. Der aus beiden Pyra- 

 miden P und p zusammengesetzte Körper kann auch als aus 

 einer Reihe dreiseitiger Pyramiden bestehend angesehen wer- 

 den, welche die Seitenflächen a, ß, y . . . von P zu Grund- 

 flächen haben, deren Spitzen sämmtliche im Scheitel von p 

 (oder k) liegen, und deren Höhen alle gleich r (nämlich die 

 genannten perpendiculären Kanten) sind. Daher hat man: 



P + p = |r(« + ^ + r + - • •) 

 Nun sei P t irgend eine dritte Pyramide über der Grund- 

 fläche B, mit P auf gleicher Seite und von gleicher Höhe, 

 und somit auch von gleichem Inhalte, so bilden P x und p 

 zusammen einen Körper, der ebenso aus dreiseitigen Pyra- 

 miden besteht, welche die Seitenflächen a 4 , ft, y i . . . von Pj 

 zu Grundflächen haben, und deren Spitzen im Scheitel von p 

 vereinigt sind; aber ihre Höhen sind im Allgemeinen alle 

 kleiner als r, nur in besonderen Fällen können eine oder zwei 

 derselben höchstens gleich r sein; bezeichnen wir dieselben 

 durch r — z, r — y, r — x . . ., so hat man 



P, + P = 1 (r-z) «i + i (*- y) A + 1 ( r ~ x ) Yi + • • • 



= i r («, + fi x + Yx + • • •) - * ( z + y A + x h + ■ ' *) 

 und daher, da P 4 gleich P, 



r ß + y + . . .) = r («, + A + 7i +. • .) — + yfli + x n + • • •) 



woraus folgt, dass 



« + ß + 7 + • • • = c< t + Ä + Vx + • • • 



