in der Lehre von der Symmetrie. 



73 



Folgerung a. Auf Grund dieses Satzes schliessen wir 

 unmittelbar, dass eine regelmässige (n-gonale) Bipyr a- 

 mide eine Oberfläche besitzt, welche kleiner ist 

 als die jeder anderen Bipyramide, welche ent- 

 steht, wenn man sie einer Schiebung unterwirft, 

 deren Deformationsfläche die Basisfläche der 

 Bipyramide ist. 



Wir können aber diese specielle Folgerung verallgemei- 

 nern, indem wir die Hilfssätze 2 und 3 in Betracht ziehen. 



Kehren wir zu dem Hilfssatze 3 und seinen Bezeichnun- 

 gen wieder zurück, und nehmen wir an, dass die rechtwinke- 

 ligen Dreiecke sich solcherweise aus einer Pyramide herstellen 

 lassen: ziehen wir die Höhenlinie, welche die gleichen Katheten 

 a' i3 a' 2 . . . ausmacht, dieser Pyramide und durch diese Ge- 

 rade, die zu den Seiten der Basisfläche senkrechten Ebenen. 

 Die Schnittgeraden dieser Ebenen mit der Basisfläche seien die 

 durch die constante Summe (m x b\ + m 2 b' 2 + . . .) angegebenen 

 Katheten b' 1? b' 2 . . und die Schnittgeraden derselben Ebene 

 mit entsprechenden Seitenflächen seien die Hypotenusen c' 1? 

 c' 2 . . . Die Längengrössen m 15 m 2 . . . sind nichts anderes 

 als die Seiten der Basisfläche; die constante Summe (m.b^ + 

 m 2 b' 2 . . .) ist der Inhalt dieser Fläche. Dann ist die Fol- 

 gerung des Satzes so zu interpretiren : unter sämmtlichen 

 gleich grossen Bipyramiden, welche dieselbe 

 Höhe besitzen, hat diejenige, deren Flächen 

 einen geraden Kegel berühren, die kleinste Ober- 

 fläche (die Basis des Kegels ist der der Basisfläche der Py- 

 ramide eingeschriebene Kreis). 



Folgerung b. Ziehen wir noch die Hilfssätze 2 und 4 

 in Betracht, so erhalten wir leicht eine noch allgemeinere 

 Folgerung und zwar: unter sämmtlichen gleich gros- 

 sen, der regelmässigen kr y stallogr aphisch-pr o- 

 jectiven Bipyramiden, welche dieselbe Höhe be- 

 sitzen, hat diese (die regelmässige) die kleinste Ober- 

 fläche. 



Die vorige Folgerung hat uns zu einer einem geraden 

 Kegel umgeschriebenen Bipyramide geführt. Für alle solche 

 Bipyramiden sind direct proportional: Volumen, Basisfläclie, 

 deren Perimeter und Oberfläche. Nun hat aber dem 2. Hilfs- 



