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E. von Fedorow, Minimumprobleni 



satze gemäss unter sämmtlichen solchen Bipyramiden die 

 regelmässige das kleinste Volumen, und dem Hilfssatze 4 

 gemäss jede andere Bipyramide , welche dasselbe Volumen 

 hätte, aber deren Grundfläche einem grösseren Kreise um- 

 geschrieben wäre, eine kleinere Oberfläche. 



Folgerunge. Jede digonale (ditrigonale, ditetragonale) 

 Bipyramide ist als eine Gruppe von zwei concentrischen regel- 

 mässigen anzusehen. Wie aber die vorige Folgerung für jede 

 derselben, einzeln genommen, gültig ist, so behält sie ihre 

 Gültigkeit auch für die Gruppe beider, d.h. unter sämmt- 

 lichen gleich grossen, einer digonalen kry- 

 stallographisch-projectiven und dieselbe Höhe 

 besitzenden Bipyramiden hat die letzte (die digonale) 

 die kleinste Oberfläche. 



Folgerung d. Wählen wir eine Diagonale Oo' (Fig. 4) 

 eines beliebigen Parallelepipedons als Axe, und bezeichnen 



die der durch die Mittelpunkte 

 der Kanten A &, O B, BA! . . . 

 hindurchgehenden Ebene abede 

 parallelen Ebenen als Diagonal- 

 ebenen, dabei die Ebene abede 

 selbst als eine Hauptdiagonal- 

 ebene. Verlängern wir die drei 

 in der Spitze sich schneiden- 

 den Ebenen bis zu dem Durch- 

 schnitt mit der Hauptdiagonal- 

 ebene, dann verwandelt sich 

 die obere Hälfte des Parallelepipedons in eine dreiseitige 

 Pyramide . A 1 B i C 1 ; die hinzugefügten Theilpyramiden wer- 

 den ihr sämmtlich ähnlich, ebenso wie der Pyramide .ABC, 

 welche wir als Gipfelpyramide des Parallelepipedons bezeichnen 

 wollen. Wird der Inhalt einer der Theilpyramiden als Ein- 

 heit genommen, so wird der der Gipfelpyramide gleich 8 und 

 der des ganzen Parallelepipedons gleich 2(3 3 — 3) = 48; folg- 

 lich ist das Verhältniss des Inhaltes der Gipfelpyramide zu dem 

 des Parallelepipedon ein constantes (£), wie auch das Parallel- 

 epipedon beschaffen sein mag. Ebenso constant (|) ist das Ver- 

 hältniss der Seitenfläche dieser Pyramide zu der Oberfläche des 

 Parallelepipedons. Daraus können wir schliessen, dass unter 



Fig. 4. 



