in der Lehre von der Symmetrie. 



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sämmtlichen gleich grossen und dieselbe Höhe 

 in Bezug auf eine Hauptdiagonalfläche besitzen- 

 den, einem Rhomboeder kry st allographis ch-pr o- 

 jectiven Par allelepipeden, das erste (das Rhombo- 

 eder) die kleinste Oberfläche hat. Dabei wird als 

 selbstverständlich vorausgesetzt, dass das der regelmäs- 

 sigen dreiseitigen Gipfelpyramide entsprechende Parallelepi- 

 pedon ein Rhomboeder ist. 



Satz 8. Unter sämmtlichen gleich grossen, 

 einem Pentagonal - D odekaeder k r y s t all o gr a- 

 phisch-projectiven Polyedern hat das erste die 

 kleinste Oberfläche. 



Die Oberfläche eines Pentagonaldodekaeders lässt sich 

 als eine Gruppe von zwei Rhomboedern mit zusammenfallen- 

 der Axe auffassen. Dabei bleibt gleichgültig, welche von den 

 vier dreizähligen Symmetrieaxen wir für die Axe des Rhombo- 

 eclers annehmen wollen. Bezeichnen wir die beiden Rhombo- 

 eder durch A und B und einen der gegebenen Figur co- 

 axialen Würfel durch C. 



In der allgemeinsten Form kann eine kiwstallographische 

 Deformation als aus folgenden Theildeformationen bestehend 

 aufzufassen sein: 



1. Ein beliebiges gegebenes Parallelepipedon unterziehen 

 wir zuerst einer solchen Deformation, bei welcher die Lage 

 der Diagonalflächen, sein Volumen und die Höhe (in Bezug 

 auf Hauptdiagonalfläche) dieselben bleiben, aber das Parallel- 

 epipedon sich in ein Rhomboeder verwandelt; 



2. das Rhomboeder unterziehen wir einem directen Zuge 

 nach der Richtung der Axe, bis es sich in einen Würfel ver- 

 wandelt, und 



3. den so erhaltenen Würfel ersetzen wir durch einen 

 ihm ähnlichen, der dem gegebenen Parallelepipedon gleich 

 gross ist. 



Somit ist ein beliebiges Parallelepipedon in einen ihm 

 gleich grossen Würfel verwandelt worden. Also auch um- 

 gekehrt können wir jedes mit dem Würfel krystallographisch- 

 projective Parallelepipedon als eine aus dem Würfel durch 

 die Operationen 3, 2 und 1 verwandelte Figur entstanden 

 betrachten. 



