76 



E. von Fedorow, Minimumproblem 



Nun ist es klar, dass, wenn wir alle drei krystallogra- 

 phisch-projective Figuren J, B und C dem Processe 1 unter- 

 werfen , sie sieh sämmtlich in Rhomboeder verwandeln , da 

 nur eine derselben, z. B. 0, zum Rhomboeder wird. Dies 

 ist als eine Folgerung der allgemeinen Eigenschaften der in 

 affiner Beziehung stehenden Figuren anzusehen. Nun ist 

 aber der Folgerung d des vorigen Satzes gemäss zu schlies- 

 sen, dass dabei die Oberfläche aller drei Figuren kleiner 

 wird. 



Es bleiben also in dieser Beziehung die Operationen 2 

 und 3 zu prüfen, welche zu dem Resultate führen sollen, dass 

 C sich in einen gleich grossen Würfel verwandelt. Nehmen 

 wir an, dass dabei die Summe der Oberflächengrössen von A 

 und B nicht die kleinste wird, sondern dass diese Summe 

 einen kleinsten Werth bei anders ausgeführten Operationen 2 und 

 3 hat, und dass bei dieser Ausführung G schon kein Würfel 

 mehr ist, sondern ebenso ein Rhomboeder. Jetzt sind alle 

 drei Körper A. B und C in Bezug auf die genommene Axe 

 die Rhomboeder und höchstens kann einer der beiden A und 

 B der Würfel sein. In Bezug auf eine andere Axe (und als 

 Folge der projectiven Eigenschaften müssen sämmtliche Axen 

 zusammenfallen) sind diese Körper keine Rhomboeder mehr 1 , 

 von Ausnahmefällen abgesehen, in welchen einer der Körper 

 A oder B ein Würfel ist, in welchem dieser Körper in 

 Bezug auf sämmtliche Axen ein Rhomboeder wäre. Dieser 

 Fall ist aber gerade der unmögliche, weil, wenn einer dieser 

 Körper in Bezug auf eine Axe ein Rhomboeder wäre, auch 

 sämmtliche andere Rhomboeder wären, was gegen die Vor- 

 aussetzung ist. 



Ist aber keiner von den dreien ein Rhomboeder, so lässt 

 sich jeder von ihnen, einzeln genommen, ebenso wie ihre Ge- 

 sammtheit der Operation 1 unterziehen, welche die Verminde- 

 rung der Oberflächengrösse zur Folge hätte, was wieder gegen 

 die gemachte Voraussetzung ist. Die Voraussetzung ist also 



1 Dabei soll nicht ausser Acht gelassen werden, dass die Körper A 

 und B nicht einzeln zu nehmen sind, sondern immer zusammen, und dass 

 bei der Änderung der Axe eine Vertauschung einiger Flächen stattfinden 

 soll, da wir nur bei zweckmässiger Vertauschung erfahren können, ob sie 

 als eine Gruppe der zwei Rhomboeder anzusehen ist oder nicht. 



