in der Lehre von der Symmetrie. 



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unmöglich, d. h, es ist unmöglich anzunehmen, dass eine solche 

 Gruppe von A und B, welcher der Würfel C entspricht, nicht 

 die kleinste Oberfläche besitzt, w. z. b. w. 



Ist aber G ein Würfel, so sind Ä und B in Bezug auf 

 alle Axen als eine Gruppe von zwei Rbomboedern anzusehen, 

 und die Operation 1 ist nicht mehr anwendbar. 



Folgerung. Denselben Satz können wir auch auf ein 

 Tetartoeder übertragen. Der Unterschied in der Beweisfüh- 

 rung besteht nur darin, dass die Oberfläche eines Tetarto- 

 eders als eine Gruppe von vier (Hälften) und nicht von zwei 

 Rhomboedern zu betrachten ist. Dieser Umstand ändert aber 

 weiter nichts in dem Gange der Beweisführung. 



Vom Tetartoeder ist leicht zu sämmtlichen anderen Fi- 

 gurendes tesseralen, ebenso wie des dodekaeder-ikosaedrischen 

 Systems überzugehen. Alle einfachen Figuren sämmtlicher 

 Symmetriearten dieser Systeme sind nämlich durch die Rela- 

 tion der Meroedrie mit Tetartoedrie des tesseralen Systems 

 verbunden 1 , also ist eine jede solche Figur als eine Gruppe 

 von Tetartoedern anzusehen; ist also der Satz für jedes der- 

 selben, einzeln genommen, richtig, so bleibt natürlich seine 

 Richtigkeit auch für die Gruppe fortbestehen. 



Von den durch ebene Flächen begrenzten Figuren ist 

 der directe Übergang zu den symmetrischen krummen Flächen, 

 welche als unendliche Gesammtheit der Tetartoeder mit un- 

 endlich kleinen Flächen aufzufassen wären. Bleibt der Satz 

 richtig für jedes unendlich kleine Element, einzeln genommen, 

 so bleibt natürlich seine Richtigkeit auch für die Gesammt- 

 heit dieser Elemente fortbestehen. 



Somit sind wir zu der höchsten Verallgemeinerung des 

 bewiesenen Satzes gekommen, und zwar: 



Unter sämmtlichen mit einer eine Symmetrie- 

 art der regelmässigen Systeme besitzenden be- 

 liebigen krummen Fläche krystallographisch 

 projectiven Flächen hat die erste die kleinste 

 Oberfläche. 



Werfen wir noch einen Rückblick auf die erhaltenen 

 Resultate, so finden wir, dass der Satz über die kleinste Ober- 



1 Die Elemente der Gestaltenlehre. § 44. 



