B. Minnigerode, Ueber die Symmetrieverhältnisse der Krystalle. 95 



gleiche, die zu ihnen gehörigen Substitutionen haben die De- 

 terminante — 1. Es findet nun die Eigenschaft statt, dass jede 

 Operation zweiter Art ersetzt werden kann durch Combination 

 irgend einer Operation zweiter mit einer erster Art. Dadurch 

 ist die Möglichkeit gegeben, sämmtliche Operationen zweiter 

 Art zu ersetzen durch Combination von Operationen erster 

 mit einer bestimmten Operation zweiter Art. Eine von diesen 

 ist die Inversion; sie besitzt die Eigenschaft, mit jeder andern 

 Operation erster oder zweiter Art vertauschbar zu sein. Auch 

 diese ausgezeichnete Eigenschaft kommt ausser ihr nur der 

 Identität zu. Ich habe die Inversion benutzt, um alle übrigen 

 Operationen zweiter Art durch sie und Drehungen zu ersetzen. 

 Insbesondere ist eine .Symmetrieebene der Verbindung der 

 Inversion mit einer Drehung um zwei Rechte (ümklappung) 

 um eine zur Symmetrieebene senkrechte Axe äquivalent. 

 Schönflies betrachtet die Drehspiegelung als einfachste 

 typische Operation zweiter Art, d. h. die Verbindung einer 

 Drehung mit einer Spiegelung, deren Ebene senkrecht auf 

 der Drehungsaxe steht. Jede Operation zweiter Art ist einer 

 gewissen Drehspiegelung äquivalent. Den Nachweis dieses 

 Satzes stützt Schönflies darauf, dass eine Operation zweiter 

 Art durch eine Inversion verbunden mit einer Drehung er- 

 setzt werden kann (1. c. S. 28 u. 38). Insbesondere wird die 

 Inversion durch eine Spiegelung und ümklappung um die 

 zur spiegelnden Ebene senkrechte Axe ersetzt. 



Ob man das eine oder das andere vorzieht, kann schliess- 

 lich als Geschmackssache betrachtet werden. Als entschei- 

 dend aber sehe ich die physikalischen Beziehungen an. Für 

 eine grosse Reihe wichtiger physikalischer Erscheinungen ist 

 ein Centrum der Symmetrie vorhanden. Die 32 nach den 

 Symmetrieeigenschaften unterschiedenen Gruppen zerfallen 

 danach in 11 Abtheilungen, von denen nur die hier in Be- 

 tracht kommenden aufgeführt werden sollen. Für das tetra- 

 gonale System sondern sich die Gruppen in folgende 2 Ab- 

 theilungen: 



I. Holoedrie. Hemimorphie der Holoedrie. Trapezoedrische 



Hemiedrie. Sphenoidische Hemiedrie. 

 II. Pyramidale Hemiedrie. Hemimorphie der trapezoedrischen 

 und pyramidalen Hemiedrie. Sphenoidische Tetartoedrie. 



