Symmetrieaxen immer mögliche Krystallkanten sein sollen. 279 



Ich sage 1 : „Der angeführte Satz ist falsch. Aus dem Beweise des 

 Herrn v. Fedorow folgt (wenn er richtig geführt wird), dass es Krystall- 

 kantencomplexe giebt, welche eine dreizählige Symmetrieaxe besitzen, aber 

 die Symmetrieaxe nicht als mögliche Krystallkante enthalten." 



Nun der Beweis: 



1. Vier Krystallkanten 2 X, , X 2 , X 3 und r , von denen nicht drei in 

 einer Ebene liegen, bestimmen einen Krystallkantencomplex vollständig. 



2. Für jede Krystallkante o', welche zu demselben Complexe gehört, 

 müssen gewisse Kelationen bestehen. Bezeichnet man die Geraden, welche 

 auf den Ebenen (X 2 X 3 ) resp. (X^) resp. (XjX 2 ) senkrecht stehen, mit 

 x x resp. x 2 resp. x 3 , so müssen die Verhältnisse: 



cos (0%) _ cos (o'x 2 ) . cos (o'x 3 ) _ r< . r , . r< 

 a ' cos(rx t ) " cos(rx 2 ) ' cos(rx 3 ) 1-2-3 



rational sein. [Diese Definitionsgleichung für die r' druckt Herr v. Fedorow 

 ab und erklärt 11 Zeilen weiter, dass er nicht wisse, was die r' bedeuten !] 



3. Der betrachtete Krystallkantencomplex soll eine dreizählige Sym- 

 metrieaxe besitzen, und zwar sollen X 1? X 2 , X 3 drei Kanten sein, welche 

 durch Drehung um 120° um die Symmetrieaxe in einander übergehen. 

 Dann sind die Winkel, welche die X mit der Symmetrieaxe bilden, einander 

 gleich und auch die Winkel (X 2 X 3 ), (XgXJ, (X X X 2 ) sind einander gleich. 

 Dasselbe gilt für die x. 



4. Unter den Kanten 0' muss eine sein, auf welche r bei der- 

 selben Drehung um die Symmetrieaxe fällt, durch die x l auf x^,, x 2 auf 

 x 3 und x 3 auf x t fällt. Diese Kante sei 0. Dann gelten die Gleichungen : 

 1) (oxj = (rx 3 ), (ox 2 ) = (rx x ), (ox 3 ) = (rx 2 ). 



5. Zwischen den fünf Kanten X 15 X^ X 3 , r und bestehen die aus 

 (a) folgenden Relationen: 



cos (rxj . cos (rx 2 ) _ cos (rx 3 ) = r . f . r * 



> COS (oXj) ' C0S(0X 2 ) ' COS(OX 3 ) 1-2-3' 



in denen die Verhältnisse r t : r 2 : r s rational sein müssen. Hierdurch 

 sind diese Verhältnisse bestimmt d e f i n i r t , sobald die Kanten X t X 2 X 3 

 und r gewählt sind. 



6. Da die Verhältnisse r, : r 2 : r 3 rational sein müssen, so stellt die 

 Relation (2) aber auch eine Bedingung dar, welcher die vier Kanten 

 X^jjXg und r genügen müssen, wenn der Complex eine dreizählige 

 Symmetrieaxe haben soll. Diese Bedingung kann man umformen, 

 indem man in (2) die aus (1) folgenden Werthe für die Winkel (ox) setzt. 

 Man erhält so: 



cos (rxj , cos (rx 2 ) _ cos(rx 3 ) f . r . r 

 cos(rx 3 ) " cos(rxj) ' cos (rx 2 ) 1 ' 2 ' 3 ' 

 Hieraus folgt : 



1 B. Hecht: Dies. Jahrb. 1893. IL 173. 



2 Die Bezeichnungen wähle ich so, dass ich mit den citirten Notizen 

 im Einklang bleibe. Da in der ersten Notiz x,, x 2 , x 3 im doppelten Sinne 

 gebraucht sind, erlaube ich mir hier X,, X 2 , X 3 zu setzen. 



* Um mit der Bezeichnung des Herrn v. Fedorow in Uebereinstimmung 

 zu bleiben, sind hier die reciproken Werthe der r gesetzt. 



