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B. Hecht, Zweite Bemerkung* etc. 



r, _ cos 2 (rx,) cos^rx,) 



T 2 ~ cos (r x 2 ) cos(rx 3 ) ~~ cos (rx x ) cos(rx 2 ) cos(rx 3 ) 

 und zwei analoge Gleichungen. 

 Setzt man: 



r r.> Yo 



r 2 r 3 i t 



so ergiebt sich: 3 _ g _ g _ 



' 3) cos (r : cos (r x 2 ) : cos (r x 3 ) == y c t : V c 2 : V c 3 . 



Die Grössen c müssen hierin rational 1 sein. 



Diese Relation (3) ist erstens die Bedingung, welche die vier 

 Kanten X 1 X 2 X 3 und r erfüllen müssen, damit der Complex eine dreizählige 

 Symmetrieaxe besitzt, und zweitens eine Definitionsgleichung für die 

 Grössen c. Sobald die vier Kanten gewählt sind, sind auch 

 die Verhältnisse c } : c 2 : c 3 bestimmt. 



[Wenn Herr v. Fedorow nun in (3) Cj = c 2 = c 3 setzt , so nimmt 

 er eben an, dass die vierte Kante die Symmetrieaxe ist und es ist dann 

 überflüssig zu beweisen, dass dieselbe in dem Complex vorkommt.] 



7. Für jede andere mögliche Krystallkante o' muss die Relation (a) 

 bestehen, welche fünf Kanten enthält. Um dieselbe umzuformen, setze 

 ich darin die aus (3) fliessenden Werthe (p ist ein Proportionalitätsfactor) : 



cos (rx,) == pV'cV, cos (rx 2 ) == p^, cos (rx 3 ) == pfc 3 

 und erhalte: 3 _ g _ g _ 



b) cos (o'Xj) : cos (o'x 2 ) : cos (o'x 3 ) = r\V^ ' *\v c 2 : r W <V 



[Der Übergang von (a) zu (b) ist so einfach, dass ich es in der ersten 

 Notiz nicht für nöthig hielt, ihn ausführlicher darzustellen. Dass die For- 

 mel (b) mit der Formel (3) nicht identisch ist, wie Herr v. Fedorow meint, 

 geht daraus hervor, dass in (3) nur vier Kanten, in (b) aber fünf Kanten 

 vorkommen, da die Kante r in den c steckt.] 



8. Unter den Krystallkanten o', also in dem durch X x , X 2 , X 3 und r 

 detinirten Complexe kommt die Symmetrieaxe nur dann vor, wenn die 

 Verhältnisse 



werden können, d. h. wenn die Grössen c (abgesehen von einem gemein- 

 samen Factor) dritte Potenzen von rationalen Grössen sind. 

 Da aber bei der Definition des Krystallkantencomplexes die Kante r bis auf 

 die Bedingung (3) völlig willkürlich angenommen werden darf, so kann ihr 

 jedenfalls eine solche Lage ertheilt werden, dass die Grössen c nicht 

 dritte Potenzen aus rationalen Zahlen werden. Daher der Satz: Im All- 

 gemeinen ist die dreizählige Symmetrieaxe keine mög- 

 liche Krystallkante. 



Hiermit glaube ich die Richtigkeit meiner Bemerkung in dies. Jahrb. 

 1893. II. 173 nachgewiesen zu haben. 



1 Die Grössen c sind nicht unabhängig von einander. Vielmehr muss 

 Cj c 2 c 3 die dritte Potenz einer rationalen Grösse sein , so dass man statt 

 •^cT : : besser e, : e^ä: e 3 \/«* setzen, würde , worin e t , e 2 , e 3 

 und a rationale von einander unabhängige Grössen sind. 



